24. Некоторые приложения двойных и тройных интегралов

1. Площадь фигуры. А) Для плоской фигуры

. (4.1)

Б) Площадь части искривленной поверхности рассматривается в разделе 14.6. этой главы.

2. Объем тела V: (- проекция V на плоскость Oxy):

(4.2)

Или . (4.3)

3. Масса. А) Если - поверхностная плотность массы плоской фигуры , то

. (4.4)

Б) если - объемная плотность массы тела , то

. (4.5)

Для однородных фигур и тел плотность примем равной единице.

4. Статические моменты и координаты центра тяжести. А) Для плоской фигуры c плотностью и массой M статические моменты относительно координатных осей:

, ;

Координаты центра тяжести:

, .

Б) Для тела V с плотностью и массой M статические моменты относительно координатных плоскостей

, , ;

Координаты центра тяжести:

, , .

Пример14. Найти массу пластинки с поверхностной плотностью .

Ñ По формуле (4.4) . Область D и подынтегральная функция совпадают с областью интегрирования и функцией из примера 9 в пункте 14.2.4 при ; там же вычислен этот двойной интеграл, поэтому и при . #

Пример 15. Найти массу тела. , если объемная плотность .

Ñ По формуле (4.5) . Тройной интеграл I по данной области V вычислен в примере 12 из пункта 14.3.3, , и потому .#

Пример 16. Найти объем тела ; , .

Ñ Из формулы (4.3) . Тело V ограничено сферами, полуконусами и плоскостями (рис.14.21).

Из анализа уравнений и вида поверхностей следует целесообразность перехода к сферическим координатам по формулам: , , . Поверхности, ограничивающие V, преобразуются:

1);
2) ;

3) или ;

4) ;

5) ; 6) .

Область изменения сферических координат точек области V есть

.

Тогда в силу формулы (3.7) =

=

. #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить объемы тел, ограниченных заданными поверхностями:

63. . 64. .

65. .

66. . 67.

68. - гиперболический параболоид, .

69. . 70. .

71. . 72. .

73. Найти массу квадратной пластинки со стороной A , если плотность пластинки в каждой точке пропорциональна расстоянию этой точки от одной из вершин и равен в центре квадрата.

Найти координаты центра тяжести однородных пластинок, ограниченных кривыми:

74. . 75. .

76. . 77. - кардиоида, .

Найти координаты центра тяжести однородных тел, ограниченных поверхностями:

78. (усеченный параллелепипед).

79. .

80. .

< Предыдущая		Следующая >