23. Переход к сферическим координатам

Формулы , , преобразуют сферические координаты точки M в декартовы координаты этой точки и переводят область (или ) изменения сферических координат на все пространство Oxyz.

Геометрически: R - радиус-ветор OM точки M; j - угол между осью Ox и проекцией радиус-вектора R на плоскость Oxy; y - угол между осью Oz и радиус-вектором R, отсчитываемый по ходу стрелки часов (рис.14.18).

Обратное преобразование имеет вид

, ,

Фиксируя в последних формулах , получим тройку координатных поверхностей: сферу, полуплоскость, полуконус, соответственно (рис.14.18).Якобиан преобразования

При переходе в тройном интеграле к сферическим координатам справедлива формула:

, (3.7)

Где W - область изменения сферических координат точек области V из Oxyz.

Пример 12. Вычислить тройной интеграл , где .

Ñ Область V ограничена полусферой и полуконусом (рис.14.18). Для удобства вычисления тройного интеграла перейдем к сферическим координатам по формулам: , при этом . Неравенства, описывающие V , преобразуются: а)

Б) .

Так как нет ограничений на , то . В итоге, область интегрирования в сферических координатах есть (этот же результат можно было усмотреть из чертежа). Тогда по формуле (3.7) =½повторный интеграл "расщепился" в произведение определенных интегралов ½=

=. #

Пример 13. Вычислить тройной интеграл , где V ограничена полусферой , цилиндром И плоскостью .

Ñ Тело V и проекция его на плоскость Oxy - круг радиуса R изображены на рис.14.19 и 14.20. Для вычисления I перейдем к цилиндрическим координатам по формулам . Поверхности, ограничивающие V преобразуются: а) , б) , в) Z=A . Так как нет ограничений на координату , то (или .Область интегрирования в цилиндрических координатах есть .