17. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Теорема 14.1 Если : 1) функция F(X,Y) интегрируема в правильной в направлении Oy области S: , т. е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

(2.3)

Теорема 14.2. Если :1) функция F(X,Y) интегрируема в правильной в направлении Ox области , т. е. существует двойной интеграл , 2) существует повторный интеграл , то

. (2.4)

Из вышеприведенных теорем следует, что При вычислении повторного интеграла можно изменять порядок интегрирования.

Пример 4. Изменить порядок интегрирования в интеграле .

Рис.14.7

Ñ Так как из (2.4) имеем

, то правильная в направлении Ox область D ограничена линиями X=Y, X=2-Y, Y=0, Y=1 (линия Y =1 выродилась в точку) (рис. 14.7). Эта область является правильной и в направлении Oy. Так как участок OAB Границы состоит из отрезков прямых

, то

, где (см. (2.1))

. Итак, = = =.#

Пример 5. Вычислить по области D, ограниченной линиями и .

Ñ Изобразим область D. Для отыскания точек пересечения парабол и решаем уравнение , откуда имеем действительные корни , . Таким образом, параболы пересекаются в точках ( рис. 14.8). Рассматривая D как правильную в направлении Oy (рис.14.8а), имеем (см.(2.1)) . По формуле (2.3)