15. Двойные интегралы. Области на плоскости

Определение. Область назовем Правильной в направлении Oy, если прямая, проходящая через любую внутреннюю точку из S параллельно оси Oy, пересекает границу области ровно в двух точках (рис.14.1).

Область S будет правильной в направлении Oy , если существуют функции И , определенные и непрерывные на [A;B] и такие, что координаты точек, принадлежащих (S), удовлетворяют условиям: ; тогда символически можно записать:

. (2.1)

Область S будет Правильной в направлении Ox, если существуют функции и , определенные и непрерывные на [C;D] и такие, что координаты точек, принадлежащих S, удовлетворяют условиям: (рис.14.2);

Тогда символически

. (2.2)

Рис.14.1. Рис.14.2.

Область называется Правильной, если она правильная в обоих направлениях Ox и Oy.

Пример 1. Область S задана уравнениями границы: .

Изобразить указанную область и записать как правильную.

Ñ Область S – треугольник, ограниченный прямыми (рис.14.3). Точки пересечения прямых есть O(0;0), A(2;1), B(2;2).
а) Область S – правильная в направлении Oy и любая прямая L, проходящая через внутреннюю точку области, пересекает прямую и прямую . Поэтому в силу (2.1) область задается системой неравенств: .

Б) Эта же область является правильной и в направлении Ox, но для задания ее системой неравенств необходимо область S разбить на две части S1 и S2 (рис.14.4). Выразим в уравнениях границы X через независимую переменную Y : OB: X=Y, OA: X=2Y. Для определения границ изменения переменной Y проведем прямые, параллельные оси Ox. Прямая L1 пересекает прямую OB: X=Y и прямую OA: X=2Y; прямая L2 пересекает прямую OB: X=Y и прямую AB: X=2. Итак, и в силу (2.2) , .#

Пример 2. Точки из области D удовлетворяют неравенству (A>0) , т. е. . Изобразить данную область и записать как правильную.

Ñ Преобразуя неравенство , получим . Геометрически область D есть круг радиуса A/2 c центром в точке С(A/2; 0). Из уравнения границы следует или .Область D может быть записана как правильная в направлении Oy (любая прямая, проходящая через внутреннюю точку D параллельно Oy, пересекает полуокружность И полуокружность OML: (рис. 14.5)), в силу (2.1) .