12. Формула Тейлора для функции 2-х переменных

Если функция дифференцируема N+1 раз в некоторой окрестности точки , то для всякой точки справедлива Формула Тейлора

Или, записав несколько членов в развернутом виде,

+ (7.4)

…+

. Здесь - Остаточный член в формуле Тейлора порядка N. При этом ,где - бесконечно малая функция при и , вид которой зависит от функции F и точки . В форме Пеано , где . При формула (7.4) называется Формулой Маклорена.

Пример 18. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки(2,-1).

Ñ Имеем . Вычислим последовательно частные производные данной функции: ,

. Все последующие производные тождественно равны нулю. Значения производных в точке(2,-1):
. По формуле (7.4) получаем искомое разложение

.#

Пример 19. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов второго порядка включительно.

Ñ Имеем . В соответствии с формулой (7.4) вычислим производные 1-го и 2-го порядков данной функции и их значения в точке (1,1).

,, ; ,

, . По формуле (7.4) имеем , где . #

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить приближенно:

50. . 51. . 52. . 53. .

54. Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания
R =2,5м, высоту H = 4м и толщину стенок L=1 дм. Найти приближенно объем
материала, затраченного на изготовление стакана.

55. В усеченном конусе радиусы оснований R =20 см, R =10см, высота H =30 см. Как приближенно изменится объем конуса, если R увеличить на 2 мм, R – на 3 мм и H уменьшить на 1мм.

56 Найти уравнение касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках:

А) в точке ; б) в точке ;

В) в точке (2,1,3); г) в точке (2,2,1);

Д) в точках пересечения с осью Oz.

57. Найти углы, которые образуют нормаль к поверхности в точке (1,1, p/4) c осями координат.
Найти экстремумы функций 2-х переменных:

58. .

59. .

60. .
61. .

62. .

63. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в
области .

64. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области
.

65. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
в круге .

66. Определить длины сторон прямоугольного параллелепипеда наибольшего объема, вписанного в прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой H.

67. Определить наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок и внутренней емкостью V так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.

68. Функцию разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (2,1).

69. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-его порядка включительно функцию .

70. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 3-го порядка включительно функцию .

71. Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1;1) до членов 2-го порядка включительно неявную функцию , определяемую уравнением , если .

< Предыдущая		Следующая >