11. Наибольшее и наименьшее значения функции 2-х переменных в замкнутой области

В 9.3 была сформулирована теорема Вейерштрасса (теорема 9.1), согласно которой всякая функция , непрерывная в замкнутой области U, ограниченной ломаной Г=, достигает в этой области своих наибольшего – наименьшего значений, для отыскания которых пользуемся следующим алгоритмом.

1. Находим критические точки, принадлежащие U.

2. На каждом звене ломаной Г сводим функцию F к функции одной переменной и выделяем на критические точки функции .

3. Список точек, полученный в пунктах 1 и 2 дополняем вершинами ломаной Г.

4. Вычисляем значения функции в точках полученного списка и выбираем среди них наибольшее и наименьшее, которые и будут искомыми.

Пример 17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области D, заданной неравенствами .

Ñ Область D ограничена частью параболы и отрезком прямой X = 4 (рис.9.3). 1) Находим критические точки из необходимого условия экстремума функции: Решение системы: X =32,5, Y = –13. Найденная критическая точка не принадлежит D.

2) Исследуем функцию на границе. а) На участке . Функция сводится к функции одной переменной .Находим критические точки функции : . На X = 4 и точки . б) На линии . Функция сводится к функции , . Находим критические точки функции : , , , , . На и получаем точки , .

3) Вершины ломаной в точках и . 4) Вычисляем значения функции F в точках , , , . Итак, , .#

< Предыдущая		Следующая >