07. Неявные функции одной и нескольких независимых
Переменных
1°. Пусть дифференцируемая в точке X0 функция Y(X) задана неявно уравнением и Y=Y(X) - решение этого уравнения. Если функция F дифференцируема, то производная функции Y=Y(X) определяется формулой
(6.4)
При условии, что , где Y0 = Y (X0), F (X0,Y0) = 0.
2°. Пусть дифференцируемая в точке функция
задана неявно уравнением
и U =
- решение этого уравнения.
Если F Дифференцируема, то частные производные функции U = в точке М 0 определяются по формулам
(6.5)
При условии, что , где
.
Пример 12. Найти , если
.
Ñ и по формуле (6.4) получаем
=
. В нашем случае X0 = 0. Непосредственной подстановкой убедимся, что точка
принадлежит графику функции, т. е.
. Поэтому
.#
Пример 13. Найти , если
.
ÑЛевую часть данного уравнения обозначим . По формуле (6.5) получим:
,
.#
Задачи для самостоятельного решения
37. Найти , если
где
,
.
38. Найти , если
, где X = ln T, Y = sin T.
39. Найти , если
где
.
40. Найти и
, если
, где
.
41. Найти и
, если
, где
.
42. Найти , если
, где
.
43. Найти Dz, если , где
.
44. Найти , если
, где
.
45. Найти Dz, если , где
.
46. Найти , если: а)
, б)
.
47. Найти , если: а)
, б)
.
48. Найти и
в точке (1,-2,2), если
.
49. Найти и
, если: а)
, б)
.
Рекомендация. Ввести .
< Предыдущая | Следующая > |
---|