06. Дифференцирование сложных и неявных функций. Сложные функции одной и нескольких переменных

1°. Пусть и в свою очередь, .

Теорема 9.5. Если функции дифференцируемы в точке , то для производной сложной функции одной переменной справедлива формула

или

. (6.1)

В частности, если T Совпадает, например, с переменной , то и “полная” производная функции И По равна

. (6.2)

2°. Пусть и, в свою очередь, , .

Теорема 9.6. Если функции дифференцируемы в точке , а функция F дифференцируема в точке , то сложная функция M переменных дифференцируема в точке N и справедливы формулы:

, (6.3)

При этом частные производные функции U по вычислены в точке М, а частные производные функций По (L=1,2,…,M) вычислены в точке N.

Выражение для дифференциала 1-го порядка сохраняет вид (5.4) (Свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Пример 8. Найти , если , где .

Ñ По формуле (6.1) имеем . #

Пример 9. Найти производную функции .

Ñ Первый способ – применить логарифмическое дифференцирование, как делалось для функции одной переменной.

Второй способ. Функция U(T) есть результат образования сложной функции при подстановке в функцию вместо X и Y двух одинаковых функций переменой T: . Тогда по формуле (6.1): + получаем =
+ .#