04. Частные производные и дифференцируемость функции

1°. Пусть M(X1,…,Xk,…,Xn) – произвольная фиксированная точка из области определения D функции и точка Если существует предел

То он называется Частной производной первого порядка данной функции по переменной Xk в точке M и обозначается или , или .

Частные производные вычисляются по правилам дифференцирования функции одной переменной, при этом все переменные, кроме Xk , рассматриваются как постоянные.

2°. Частными производными второго порядка функции по соответствующим переменным называются частные производные от ее частных производных первого порядка, они обозначаются: =, и т. д. Аналогично определяются частные производные порядка выше второго.

Теорема 9.2 Если смешанные производные Непрерывны, то они совпадают: .

Таким образом, результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования при условии, что возникающие при этом “смешанные” частные производные непрерывны.

Пример 4. Найти частные производные первого и второго порядков от функции .