03. Непрерывность функции

1°. Функция F(M) называется непрерывной в точке , если выполнены условия : 1) F(M) определена в точке M0 ; 2) существует ;

3) .

2°. Функция F(M) называется Непрерывной в области U , если она непрерывна в каждой точке области U.

3° . Если в точке M0 нарушено хотя бы одно из условий 1) – 3) непрерывности функции в точке, то M0 называется Точкой разрыва функции F(M). Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д.

Теорема 9.1 (Вейерштрасса). Если множество U, принадлежащее области определения функции F, является замкнутым и ограниченным, а функция F непрерывна на U, то F достигает на U своих наибольшего и наименьшего значений, т. е. существуют такие точки и , что для любой точки выполняется неравенство

Пример 3. Найти точки разрыва функций: а)

Б)

Ñ а) Область существования функции есть множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют условию или - внутренность круга радиуса с центром в точке O (0;0). Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. , отсюда или . Таким образом, функция Z(X,Y) разрывна на окружности .

Б) Функция U(X,Y,Z) не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Поэтому в пространстве Oxyz точки разрыва функции образуют поверхность – конус. #