02. Предел функции

Пусть функция определена на множестве D И точка .

1°. Число А называется Пределом Функции F(M) при стремлении точки к точке (или, другими словами, при , если для любого, сколь угодно малого положительного e найдется такая d - окрестность точки , что для любой точки M из этой окрестности выполняется и обозначается . Этот предел Не должен зависеть От способа (“пути”) стремления M к М0.
Используя логические символы .Для функции двух переменных F (X,Y) .

2°. Функция F(M) называется Бесконечно малой функцией (б. м.ф.) при стремлении M к точке M0, если . Практически, при вычислении удобно задать проходящую через точки M и М0 линию в параметрической (или иной ) форме, сведя тем самым задачу к вычислению предела функции одной переменной по известным правилам и теоремам.

Пример 2. Вычислить пределы: а) , б)

Ñ а) Пусть точка M(X,Y) из окрестности точки M0(0,0) стремится к точке М0 по прямой Y=Kx ( проходящей через точки М0 и М). Тогда из следует и . Пределы получаются разными при различных “K” и не существует числа A, к которому значения становились бы сколь угодно близки, как только точка M(X,Y) оказывается в достаточной близости от точки M0(0,0). Предел данной функции при M®M0(0,0) не существует.