4.3. Несобственные интегралы второго рода
Пусть функция определена на полусегменте
будем считать, что функция
является не ограниченной на этом полусегменте. При этом на сегменте
функция является ограниченной (при этом
). Точку А назовем особой точкой функции
и рассмотрим интеграл:
.
Понятно, что значение данного интеграла будет зависеть от И рассмотрим предел при
значения этого интеграла.
В независимости от этого указанный предел будем называть несобственным интегралом II рода на полусегменте .
Если указанный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится.
Если особая точка c является внутренней точкой промежутка разбиения, то есть
.
Пример 1:
Теорема (Критерий Коши): Для того чтобы несобственный интеграл сходился на
необходимо и достаточно, чтобы
такое
, что
Выполнялось условие: .
Справедливость этого утверждения вытекает из того, что сходимость несобственного интеграла означает существование предела
Признак сравнения: Если функции и
удовлетворяют условию
при
И существуют интегралы
То из сходимости (1) следует сходимость (2), а из расходимости (2) следует соответственно расходимость (1).
Следствие: Если,
при
И
, то интегралы
Сходятся и расходятся одновременно.
Пример 2:
– сходится.
< Предыдущая | Следующая > |
---|