4.2. Признак Дирихле – Абеля

Признак Дирихле – Абеля относится к интегралам следующего вида, а именно:

Теорема 3 (Признак Дирихле – Абеля): Пусть:

1) Функция непрерывна на полупрямой И имеет на этой прямой ограниченную первообразную (),

2) Пусть функция является не возрастающей функцией на промежутке Пусть

При и, кроме того, имеет непрерывную производную на . Тогда интеграл сходится.

Док-во: Для доказательства воспользуемся критерием Коши, для этой цели рассмотрим следующий интеграл

Так как функция является непрерывной (по условию), то интеграл правой части существует. Кроме того, функция не возрастает и При . Поэтому при . Для определенности будем считать, что . Рассмотрим модуль исходного интеграла:

Зададим произвольное, так как функция При , то такая константа; , мы можем сделать значение функции таким , при и выполняется условие, что

исходный интеграл сходится, ч. т.д.

Пример:

Пусть. Функция непрерывна и имеет на полупрямой первообразную (первообразная, очевидно, является ограниченной). Первый признак Дирихле-Абеля выполнен.

2) является убывающей при И стремится к нулю при . Следовательно, по признаку Дирихле – Абеля исходный интеграл сходится.

< Предыдущая		Следующая >