3.4. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов

Теорема 4: Пусть функциональная последовательность непрерывна на промежутке Х. Пусть функциональная последовательность равномерно сходится к на Х. Тогда непрерывна на промежутке Х.

Док-во: Докажем непрерывность функции в какой либо точке множества Х. функциональная последовательность равномерно сходится к функции На множестве Х, то

В том числе, в частности

Возьмем какую-нибудь функцию с номером , т. к. указанная функция непрерывна в точке , то для заданного

при

Из соотношений (1)-(3), следует, что при , значит, функция Является непрерывной, ч. т.д.

Теорема 4’: Если все функции непрерывны на промежутке Х и ряд Сходится на множестве Х, то ряд является непрерывной функцией на множестве Х.

Док-во: – Непрерывна, то – непрерывная функция на множестве Х. По условию теоремы равномерно сходится к на Х, поэтому по Теореме 4 функция непрерывна на множестве Х, ч. т.д.

< Предыдущая		Следующая >