28. Численное решение дифференциального уравнения

Численное решение задачи Коши строится для ее дискретного аналога. В этом случае отрезок - область непрерывности изменения аргумента заменяется множеством
- конечным множеством точек , которое называется сеткой. Величина - шаг сетки - является, как правило, постоянным, то есть сетки в большинстве случаев равномерные.

Функции, определенные лишь в узлах сетки , называются сеточными. Они помечаются индексом , например, , чаще же значение функции в узлах сетки обозначается обычным образом с помощью индекса, например, или

В основе построения конкретного численного метода лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения его дискретным аналогом - уравнением вида

(7.2.1)

Где - значения сеточной функции в последовательных точках Сумма в левой части формулы (7.2.1) рассматривается как разностная аппроксимация производной по одной из формул численного дифференцирования, а правая часть - как специальным образом построенная аппроксимация функции .

При нахождении приближения в очередной точке сетки по формуле (7.2.1) используются найденные ранее значения сеточной функции в предыдущих точках . Такие методы называются -шаговыми. При уравнение (7.2.1) принимает вид

(7.2.2)

Соответствующий этой формуле метод называется одношаговым. Вычисление осуществляется здесь с использованием только одного предыдущего значения .

В случае, когда входящая в уравнение (7.2.1) функция не зависит от , вычисление не вызывает затруднений и осуществляется по явной формуле

. (7.2.3)

Соответствующие методы называются явными. Напротив, если зависит от , на каждом шаге приходится решать относительно нелинейное уравнение (7.2.1). Методы, реализующие такой алгоритм, называются неявными.

< Предыдущая		Следующая >