03. Пример исследования функции

Рассмотрим в качестве примера функцию вида

1. Область определения функции.

Очевидно, что эта функция определена на всей числовой прямой, кроме точки «-3», так как в этой точке знаменатель равняется 0 и, следовательно, функция не существует, а прямая x=-3 есть вертикальная асимптота функции.

2. Поведение функции при приближении аргумента к бесконечности, точке разрыва и проверка наличия наклонных асимптот.

Проверим сначала, как ведет себя функция при приближении к бесконечности влево и вправо.

Можно заключить, что при приближении к бесконечности влево функция бесконечно убывает, а при приближении вправо – бесконечно возрастает. Горизонтальных асимптот у функции нет.

В окрестности точки разрыва поведение функции определяется следующим образом

То есть, при приближении к точке разрыва слева функция бесконечно убывает, справа – бесконечно возрастает.

Наличие наклонной асимптоты определим решив пределы:

Так как оба предела существуют и конечны, функция имеет наклонную асимптоту, определяемую уравнением

3. Точки пересечения с осями координат.

Здесь необходимо рассмотреть две ситуации: найти точку пересечения с осью OX и с осью OY. Признаком пересечения с осью OX является нулевое значение функции, то есть необходимо решить уравнение

Корнями этого уравнения будут являться значения X, при которых

То есть у графика функции две точки пересечения с осью OX.

Признаком пересечения с осью OY является значение X=0

То есть, график функции пересекает ось OY в одной точке Y=0.

4. Определение точек экстремума и промежутков возрастания и убывания.

Для исследования этого вопроса определим первую производную

Производная равна 0 тогда, когда будет равен 0 ее числитель, то есть

Это уравнение имеет два корня

То есть, функция имеет две точки экстремума и в одной точке не существует.

Определим промежутки возрастания и убывания функции.

Таким образом, функция возрастает на промежутках [-¥;-11,5] и [5,5;+ ¥] и убывает на промежутках [-11,5;-3[, ]-3,5,5].

Определим характер экстремумов, найдя для этого вторую производную:

В точке –11,5 вторая производная меньше 0, значит в этой точке находится максимум функции, в точке 5,5 вторая производная больше 0, значит это точка минимума.

5. Точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости.

Эти характеристики поведения функции определяются с помощью второй производной. Определим сначала наличие точек перегиба. Так как вторая производная функции

Никогда не будет равна 0, то можно сделать вывод, что точек перегиба у графика функции нет.

Для определения промежутков выпуклости и вогнутости поступим так же, как и при определении промежутков возрастания и убывания.

Таким образом, можно сделать вывод, что функция выпукла на промежутках [-¥;-11,5] и [-11,5;-3[ и вогнута на промежутках ]-3,5,5] и [5,5;+ ¥].

6. Построение графика функции.

Используя полученные в пунктах 1-5 характеристики, построим схематически график функции.

< Предыдущая		Следующая >