06.2. Прямое и косвенное доказательства

Немецкий философ А. Шопенгауэр считал математику довольно интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих математических дока­зательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, ко­нечно, точным: никто не может считать его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательства возникает чувство, что вы по­пали в мышеловку. Математик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального ее понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. В конце концов вы вы­ходите из лабиринта и говорите себе: «Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился».

Позиция Шопенгауэра, конечно, курьез, но в ней есть момент, за­служивающий внимания. Нужно уметь проследить каждый шаг доказа­тельства, иначе его части лишатся связи, и оно может рассыпаться, как карточный домик. Но не менее важно понять доказательство в целом, как единую конструкцию, каждая часть которой необходима на своем месте. Именно такого целостного понимания не хватало, по всей вероятности, Шопенгауэру. В итоге в общем-то простое доказательство представилось ему блужданиями в лабиринте: каждый шаг пути ясен, но общая линия движения покрыта мраком.

Доказательство, не понятое как целое, ни в чем не убеждает. Даже если выучить его наизусть предложение за предложением, к имеющемуся знанию предмета это ничего не прибавит. Следить за доказательством и лишь убеждаться в правильности каждого его последующего шага — это равносильно наблюдению за игрой в шахматы, когда замечаешь толь­ко то, что каждый ход делается по правилам игры.

Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мыс­ли на прямые и косвенные.

При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис.

Косвенное доказательство устанавливает справедливость тезиса тем, что вскрывает ошибочность противоположного ему допущения, ан­титезиса.

Например, нужно доказать, что астероиды подчиняются действию за­конов небесной механики. Известно, что эти законы универсальны: они распространяются на все тела в любых точках космического пространст­ва. Отметив это, строим умозаключение: «Все космические тела подпада­ют под действие законов небесной механики; астероиды — космические тела; значит, астероиды подчиняются данным законам». Это прямое дока­зательство, осуществляемое в два шага: подыскиваются подходящие аргу­менты и затем демонстрируется, что из них логически вытекает тезис.

В косвенном доказательстве рассуждение идет как бы окольным пу­тем. Вместо того чтобы отыскивать аргументы для выведения из них дока­зываемого положения, формулируется антитезис — отрицание этого по­ложения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. По закону исключенного третьего, если одно из противоре­чащих друг другу утверждений ошибочно, второе должно быть верным. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным. Поскольку косвен­ное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является доказательством от противного. Как с иронией замечает математик Д. Пойа, косвенное доказательство имеет некоторое сходство с надувательским приемом политикана, поддерживающего своего канди­дата тем, что опорочивает репутацию кандидата другой партии.

Например, врач, убеждая пациента, что тот не болен гриппом, гово­рит ему, что, если бы действительно был грипп, имелись бы характерные для него симптомы: головная боль, повышенная температура и пр.; но ничего подобного нет; значит, нет и гриппа. Это — косвенное доказа­тельство. Вместо прямого обоснования тезиса «У пациента нет гриппа» выдвигается антитезис «У пациента грипп». Из антитезиса выводятся следствия, но они опровергаются объективными данными. Отсюда сле­дует, что тезис «Гриппа нет» истинен.

Другой пример. Оценивая чье-то выступление, мы можем рассуждать так. Если бы выступление было скучным, оно не вызвало бы стольких вопросов и острой, содержательной дискуссии. Но оно вызвало вопро­сы и дискуссию. Значит, выступление было интересным. Здесь вместо поиска аргументов в поддержку тезиса «Выступление было интересным» выдвигается антитезис «Выступление не являлось интересным». Затем выводятся следствия из него, но они не подтверждаются реальной си­туацией. Значит допущение о неудаче выступления неверно, а тезис об интересном выступлении истинен.

В зависимости от того, как показывается ложность антитезиса, выде­ляются различные варианты косвенного доказательства.

Чаще всего ложность антитезиса удается установить простым сопостав­лением вытекающих из него следствий с фактами, опытными данными. Так обстояло, в частности, дело в рассуждениях, касающихся гриппа и выступ­ления, вызвавшего вопросы и дискуссию. Еще один простой пример. Фран­цузский философ Р. Декарт утверждал, что животные не способны мыслить и рассуждать. Его последователь Л. Расин, сын великого французского драматурга, воспользовался для обоснования этой идеи доказательством от противного. Если бы животные обладали душой и способностью мыслить и рассуждать, говорил он, разве бы они остались безразличными к неспра­ведливому публичному оскорблению, нанесенному им Декартом? Разве они не восстали бы в гневе против того, кто так принизил их? Но никаких свиде­тельств особой обиды животных на Декарта нет. Следовательно, они просто не в состоянии обдумать его аргументацию и как-то ответить на нее.

По логическому закону противоречия одно из двух противоречащих друг другу утверждений ложно. Поэтому, если в числе следствий антите­зиса встретились и утверждение, и отрицание одного и того же, можно сразу сказать, что это положение ложно.

Например, положение «Квадрат — это окружность» ложно, поскольку из него выводится и то, что квадрат имеет углы, и то, что у него нет углов.

Имеется еще одна разновидность косвенного доказательства, когда прямо не приходится искать ложные следствия. Согласно законам логики для доказательства утверждения достаточно показать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания.

Такую схему использовал древнегреческий философ Демокрит (он, как известно, первым предположил, что все тела состоят из атомов) в споре с философом Протагором. Последний утверждал, что истинно все, что кому-либо приходит в голову, или «Всякое мнение истинно». На это Демокрит ответил, что из данного утверждения вытекает также ис­тинность его отрицания, «Не каждое мнение истинно», поскольку само это отрицание тоже является мнением. И, значит, данное отрицание, а не положение Протагора, на самом деле верно.

Для косвенного доказательства утверждения достаточно также пока­зать, что оно логически вытекает из своего собственного отрицания.

В романе И. С. Тургенева «Рудин» есть такой диалог:

«— Стало быть, по-вашему, убеждений нет?

— Нет — и не существует.

— Это ваше убеждение?

— Да.

— Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай».

Здесь ошибочному мнению, что никаких убеждений нет, противопо­ставляется его отрицание: существует по крайней мере одно убеждение, а именно убеждение, что убеждений нет. Если утверждение «Убеждения существуют» вытекает из своего собственного отрицания, то это утверж­дение, а не его отрицание является истинным и доказанным.

В рассмотренных косвенных доказательствах выдвигаются две аль­тернативы: тезис и антитезис. Затем показывается ложность последнего, в итоге остается только тезис. Можно не ограничивать число принимае­мых во внимание возможностей только двумя. Это приведет к так называе­мому разделительному косвенному доказательству, или к доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпыва­ющих все возможные альтернативы данной области.

Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут исключены и останется только один: величины равны. Доказательство идет по прос­той схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом.

В разделительном доказательстве взаимная несовместимость воз­можностей и то, что ими исчерпываются все мыслимые альтернативы, определяется не логическими, а фактическими обстоятельствами. Отсю­да обычная ошибка разделительных доказательств: рассматриваются не все возможности.

< Предыдущая		Следующая >