04.4. Другие логические законы

Закон тождества — логический закон, согласно которому всякое высказывание влечет само себя.

Его можно передать также так: если высказывание истинно, то оно истинно.

Другая форма записи данного закона:

«Если А, то А».

Например, если Земля вращается, то она вращается; если линг­вист — ученый, то он ученый, и т. п. Чистое утверждение тождества ка­жется настолько бессодержательным, что редко кем употребляется.

Закон тождества кажется в высшей степени очевидным. Однако его тоже ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается той же, то она остается той же.

Закон контрапозиции говорит о перемене позиций высказываний с помощью отрицания.

Закон контрапозиции — логический закон, позволяющий с по­мощью отрицания менять местами основания и следствие (антецедент и консеквент) условного высказывания.

Данный закон позволяет из высказывания «Если А, то В» выводить высказывание «Если не-В, то не-А».

Например, из высказывания «Если есть огонь, то есть дым» по этому закону логически следует высказывание «Если нет дыма, то нет и огня».

Поскольку данный закон говорит о логическом следовании, его мож­но представить более наглядно в такой форме:

Если А, то В.

Если не-В, то не-А.

Еще один вариант этого же закона: Если не-А, то не-В.

Если В, то А.

Например, из высказывания «Если рукопись, не получившая поло­жительного отзыва, не публикуется» вытекает высказывание «Если ру­копись публикуется, она получила положительный отзыв».

Контрапозиция — это, выражаясь шахматным языком, рокировка высказываний. Редкая шахматная партия обходится без рокировки, и ред­кое наше рассуждение проходит без использования контрапозиции.

Именем английского логика А. де Моргана называются логические законы, связывающие высказывания, образованные с помощью связок «и» и «или».

Закон де Моргана — общее название логических законов, связываю­щих с помощью отрицания конъюнкцию («и») и дизъюнкцию («или»).

Один из этих законов утверждает: высказывание «А и В» эквивален­тно высказыванию «Неверно, что не-А или не-В».

Например, из высказывания «Завтра будет холодно и завтра будет дождливо» логически следует высказывание «Неверно, что завтра не бу­дет холодно или завтра не будет дождливо», и наоборот.

Другой закон де Моргана гласит: высказывание «А или В» эквива­лентно высказыванию «Неверно, что не-А и не-В».

Например, из высказывания «Идет дождь или идет снег» следует вы­сказывание «Неверно, что нет дождя и нет снега», и наоборот.

На основе законов де Моргана связку «и» можно определить, ис­пользуя отрицание, через «или», а «или» определить через «и»:

«А и В» означает «неверно не-А или не-В»,

«А или В» означает «неверно не-А и не-В».

«Модусом» в логике называется разновидность некоторой общей формы рассуждения. Далее будут перечислены четыре близких друг другу модуса, известных еще средневековым логикам. Некоторые из них теперь обычно называются иначе, чем раньше.

Правило отделения (модус поненс) — логический закон, позволяю­щий от утверждения условного высказывания и утверждения его основа­ния перейти к утверждению следствия условного высказывания.

Другая формулировка правила отделения:

Если А, то В; А.

В.

Здесь высказывания «Если А, то В» и «А» — посылки умозаключе­ния, высказывание «В» — заключение.

Например:

Если у человека диабет, он болен.

У человека диабет.

Человек болен.

Благодаря правилу отделения, от посылки «Если А, то В», исполь­зуя посылку «А», мы отделяем заключение «В». Рассуждение по прави­лу отделения идет от утверждения основания условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путают со сходным, но логически неправильным ее движением: от утверждения следствия условного высказывания к утверждению его основания. Например, внешне сходное с правилом отделения умозаклю­чение:

Если бы электролит был металлом, он проводил бы электрический ток.

Электролит проводит электрический ток.

Электролит — металл.

Не является логически корректным. Рассуждая по последней схеме, мож­но прийти от истинных посылок к ложному заключению. Против смеше­ния правила отделения с этой неправильной схемой рассуждения предо­стерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следст­вия рассуждать допустимо, а от подтверждения следствия к подтверждению основания — нет.

Правило фальсификации (модус толленс) — логический закон, позволяющий от отрицания следствия условного высказывания перехо­дить к отрицанию основания этого высказывания.

Если А, то В. Неверно В.

Неверно А.

Например: «Если бы семь делилось на два, оно было бы четным числом. Но семь не является четным. Следовательно, семь не делится на два».

На основе правила фальсификации идет процесс фальсификации, установления ложности теории (или гипотезы) путем выведения из нее ложных эмпирических следствий. Для проверки какой-то теории Т из нее выводится некоторое проверяемое опытным путем утверждение А, т. е. устанавливается условная связь «Если Т, то А». Посредством наблюде­ния или эксперимента утверждение А сопоставляется с реальным поло­жением дел. Выясняется, что А ложно, а истинно утверждение не-А. Из посылок «Если Т, то А» и «Неверно, что А» следует «Неверно, что Т». Теория Т оказывается, таким образом, ошибочной и нуждается в исправ­лении или даже в замене ее новой теорией.

С правилом фальсификации нередко путают внешне сходное с ним умозаключение, в котором от утверждения условного высказывания и отрицания его основания осуществляется переход к отрицанию следс­твия.

Пример такого неправильного рассуждения:

Если у человека повышенная температура, он болен.

У человека нет повышенной температуры.

Неверно, что он болен.

Это рассуждение ведет от истинных посылок к ложному заключе­нию, если речь идет о человеке, болезнь которого протекает без повы­шения температуры. Против смешения правила фальсификации с этой некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицания следствия условного высказывания можно переходить к отрицанию ос­нования этого высказывания, а от отрицания основания к отрицанию следствия — нельзя.

Утверждающе-отрицающий модус — логический закон, поз­воляющий из посылок «Либо А, либо В» и «А» вывести заключение «Неверно В».

Другая форма записи:

Либо А, либо В; А.

Неверно В.

Посредством данной схемы рассуждения от утверждения двух взаимо­исключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы. Например: «Либо Южный полюс открыл Амундсен, либо этот полюс открыл Скотт. Южный полюс открыл Амундсен. Следовательно, неверно, что Южный полюс был открыт Скоттом».

Отрицающе-утверждающий модус — логический закон, позволяю­щий от посылок «А или В» и «Неверно А» перейти к заключению «В».

Другая форма записи:

А или В; неверно А.

В.

Например:

Данную кражу совершил Иванов, или ее совершил Петров. Иванов не совершал кражи.

Кражу совершил Петров.

Закон двойного отрицания — логический закон, позволяющий вводить или снимать двойное отрицание исходного высказывания.

А. Неверно, что не-А.

Неверно, что не-А. А.

Другая форма записи: из высказывания «А» логически следует вы­сказывание «Неверно, что не-А»; из высказывания «Неверно, что не-А» следует высказывание «А».

Например, «Если Петрарка писал сонеты, то неверно, что он не пи­сал сонетов» и «Если неверно, что Пушкин не написал роман в стихах, то он написал роман в стихах».

Шерлок Холмс однажды заметил: «Отбросьте все невозможное, и то, что останется, будет ответом». Имеется в виду логический закон: «Или первое, или второе, или третье; но первое неверно и второе неверно; сле­довательно, третье». Другая форма записи:

Или А, или В, или С. Но А нет и В нет.

Имеет место С.

Еще один логический закон говорит об ошибочных следствиях: «Если первое, то второе или третье, но второе неверно и третье неверно; значит, неверно и первое». Другая форма записи:

Если А, то В или С. Но не-В и не-С.

Не-А.

Рассмотрим пример рассуждения, своеобразно комбинирующего два последних закона.

Когда-то халиф Омар вознамерился сжечь богатейшую Александрий­скую библиотеку. На просьбу сохранить ее этот религиозный фанатик, сам учившийся на ее книгах, ехидно отвечал, что книги библиотеки либо согласуются с Кораном, либо нет; если они согласуются с Кораном, они излишни и должны быть сожжены; если они не согласуются с Кораном, они вредны и поэтому также должны быть сожжены; следовательно, кни­ги библиотеки в любом случае должны быть сожжены.

Это рассуждение опирается, конечно, на ложную предпосылку. Оно показывает, что фанатик тоже способен быть иногда логичным.

Закон, носящий имя средневекового логика и философа монаха Дун­са Скота, характеризует ложное высказывание. Смысл этого закона мож­но приблизительно передать так: из ложного утверждения высказывания вытекает какое угодно утверждение. Применительно к конкретным вы­сказываниям это звучит так: если дважды два равно четыре, то, если это не так, вся математика ничего не стоит. В подобного рода рассуждениях есть несомненный привкус парадоксальности. Особенно заметным он стано­вится, когда в качестве заключения берется явно ложное и совершенно не связанное с посылками высказывание. Например: если дважды два равно четыре, то если это не так, то Луна сделана из зеленого сыра. Здесь явный парадокс.

Не все описания логического следования принимают данный закон в качестве правомерного способа рассуждения. Построены, хотя только сравнительно недавно, такие теории логического следования, в которых этот и подобные ему способы рассуждения считаются недопустимыми.

Известен анекдот об одном из основателей современной логики Б. Расселе, доказавшем своему собеседнику на каком-то вечере, что из того, что два плюс два равно пяти, вытекает, что он, Рассел, — римский папа. В доказательстве использовался закон Дунса Скота.

Отнимем от обеих сторон равенства 2 + 2 = 5 по 3. Получим 1 = 2. Если собеседник утверждает, что Рассел не является римским папой, то этот папа и Рассел — два разных лица. Но поскольку 1 = 2, папа и Рас­сел — это одно и то же лицо.

Закон приведения к абсурду — логический закон, говорящий, что если из утверждения вытекает противоречие, то это утверждение ложно.

Например, из утверждения «Треугольник имеет четыре угла» выво­дится как то, что у треугольника три угла, так и то, что у него четыре угла. Это означает, что исходное утверждение ложно.

Приведенные формулировки законов логики и примеров к этим зако­нам являются довольно неуклюжими конструкциями, и звучат они непри­вычно. И это даже в случае самых простых по своей структуре законов. Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках, явно не лучшее средство для данной цели. И дело даже не столько в громоздкости получаемых выражений, сколько в отсутствии ясности и точности в пе­редаче законов.

Мало сказать, что о законах логики трудно говорить, пользуясь только обычным языком. Строго подходя к делу, нужно сказать, что они вообще не могут быть адекватно переданы на этом языке. Не случайно современная логика строит для выражения своих законов и связанных с ними понятий специальный, так называемый формализованный язык. Этот язык отличается от обычного языка прежде всего тем, что следует за логической формой и воспроизводит ее даже в ущерб краткости и лег­кости общения.

К законам доказательства путем приведения к абсурду относится и прин­цип, говорящий, что если из утверждения вытекает противоречие, то это утверждение ложно. Например, если из утверждения «Треугольник имеет четыре угла» — выводится как то, что у треугольника три угла, так и то, что у него не три угла, это означает, что исходное утверждение ложно.

Приведенные формулировки законов логики и примеров к этим зако­нам являются весьма неуклюжими конструкциями, и звучат они довольно непривычно. И это даже в случае самых простых по своей структуре зако­нов. Естественный язык, использовавшийся в этих формулировках, явно не лучшее средство для данной цели. И дело даже не столько в громозд­кости получаемых выражений, сколько в отсутствии ясности и точности в передаче законов.

Довольно, впрочем, примеров логических законов. Дальнейшие при­меры этого рода способны создать ошибочное представление, будто ло­гические законы существуют и могут исследоваться порознь, в какой-то независимости друг от друга и вне определенной системы.

Такое представление было характерно для традиционной логики. Современная логика, описывающая принципы мышления с помощью спе­циально созданного для этого формализованного языка, исследует логиче­ские законы только как элементы систем таких законов. Она интересуется при этом не столько отдельными законами, сколько системами в целом.

В подобном подходе нет, в общем-то, ничего оригинального. Всякая научная теория представляет собой систему взаимосвязанных утвержде­ний, упорядоченную, иерархическую структуру, налагающую свой отпе­чаток на каждое утверждение, входящее в нее. Любое из них, будучи вы­рвано из системы, перестает быть частью того живого организма, каким она является, и теряет тот сложный и разветвленный смысл, каким она наделяет каждый свой элемент.

В рассмотренных до сих пор логических законах простое высказыва­ние берется как единое, неразложимые на части целое. Раздел логики, в котором внутреннее строение простых высказываний не принимается во внимание, называется логикой высказываний и лежит в фундаменте всей

Логики. Логика высказываний начала складываться еще в античности. Жив­шие после Аристотеля философы-стоики (Филон, Хрисипп и др.) указали, в частности, такие широко употребляемые законы логики высказываний:

• «Если первое, то второе; первое имеет место; следовательно, второе также имеет место» (например: «Если день, то светло; сейчас день; значит, сейчас светло»);

• «Если первое, то второе; но второго нет; значит, нет и первого» («Если ночь, то темно; неверно, что темно; значит, сейчас не ночь») и др. Однако логика высказываний была сформулирована только в XIX в.

< Предыдущая		Следующая >