3.5. Сопряжённые и ортогональные операторы

Пусть , , вещественное евклидово пространство, – линейный оператор, действующий из в

Оператор называется Сопряжённым к линейному оператору , если Оператор является линейным. Всякий линейный оператор имеет единственный сопряжённый оператор .

Линейный оператор называется Самосопряжённым, если , т. е. .

Матрица самосопряжённого оператора в ОНБ является симметрической, т. е. .

Линейный оператор , называется Ортогональным, если .

Для того чтобы линейный оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ОНБ была ортогональна, т. е. или .

Ортонормированный линейный оператор это оператор перехода от одного ОНБ к другому ОНБ (при таком переходе сохраняется длина вектора).

Свойства ортогональных операторов

Свойство 1. Ортогональный оператор невырожденный, т. е. имеет обратный оператор, который также является ортогональным.

Свойство 2. Если – матрица ортогонального оператора, то – матрица обратного ему оператора .

Свойство 3. Произведение ортогональных операторов также ортогональный оператор.

< Предыдущая		Следующая >