1.1. Блочные матрицы и действия над ними. Основные определения и обозначения

Будем рассматривать только действительные матрицы , т. е. матрицы, элементы которых являются действительными числами.

Примем следующие Обозначения:

1) – прямоугольная матрица, – число строк, – число столбцов;

2) – квадратная матрица порядка ;

3) матрица-строка ;

4) матрица-столбец

5) единичная матрица где

6) нулевая матрица – .

Квадратная матрица называется

1) верхнетреугольной, если при , и нижнетреугольной, если при ;

2) диагональной, если при ;

3) симметрической, если ;

4) кососимметрической, если ;

5) ортогональной, если , т. е. .

Две матрицы и одного размера равны (), если .

Действия над матрицами

1. Сумма матриц и одного размера есть матрица того же размера, и .

2. При умножении матрицы на число получаем матрицу , элементы которой .

3. Произведением матрицы на матрицу является матрица , элементы которой .

4. Свойства операции транспонирования матриц: при условии возможности выполнения этих операций.

5. Для нулевой матрицы : (при условии возможности выполнения этих операций).

6. Для единичной матрицы имеют место соотношения:

Обратная матрица

Матрица называется обратной к матрице , если и обозначается

Квадратная матрица порядка называется Невырожденной, если В этом случае также невырожденная квадратная матрица порядка , элементы которой определяются по формуле:

Где – алгебраические дополнения элементов в определителе матрицы .

Произведение двух невырожденных матриц также невырожденная матрица. Пусть и – невырожденные квадратные матрицы одного порядка, тогда:

Целочисленные степени квадратных матриц

По определению

При этом имеют место обычные свойства степени, в частности, если – невырожденная матрица, то

Следующая >