45. Распадающиеся квадратичные формы

Определение 66. Квадратичная форма называется Распадающейся, если её можно представить в виде произведения двух линейных форм.

Теорема 70. Квадратичная форма над полем комплексных чисел распадается тогда и только тогда, когда её ранг меньше или равен двум. Квадратичная форма над полем действительных чисел распадается тогда и только тогда, когда либо её ранг не больше единицы, либо её ранг равен двум, а положительный индекс инерции равен единице.

Доказательство. Если форма нулевая (её ранг равен нулю), то утверждение теоремы очевидно. Рассмотрим любую ненулевую форму J(А).

Þ Пусть квадратичная форма J Распадающаяся. Тогда

J(А) = (A1х1 + A2х2 + … + Anхn)×(B1х1 + B2х2 + … + Bnхn).

Возможны два случая:

1. Aк = LBк для всех К = 1, 2, … , N. Тогда J(А) = l(A1х1 + A2х2 + … + Anхn)2.

Сделав преобразование координат по формулам:

У1 = A1х1 + A2х2 + … + Anхn , У2 = х2 , … , уn = Хn , получим J(А) = lУ12. Но это канонический вид данной формы. Следовательно, ранг формы равен 1.

2. Не все Aк равны соответствующим Bк .

Сделав преобразование координат по формулам:

У1 = A1х1 + A2х2 + … + Anхn , У2 = B1х1 + B2х2 + … + Bnхn , У3 = х3 , … , Уn = Хn , получим

J = у1у2 .

Сделав ещё одно преобразование координат по формулам:

У1 = z1 – z2 , у2 = z1 + z2 , у3 = z3 , … , zn , получим J = z12 – z22. В случае поля действительных чисел это выражение является нормальным видом данной формы. Следовательно, ранг формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1. Если дана форма над полем комплексных чисел, то преобразование У1 = z1 –i z2 , у2 = z1 +i z2 , у3 = z3 , … , zn приводит форму к виду J = z12 + z22. Ранг этой формы равен 2.

Ü Если действительная или комплексная форма имеет ранг 1, то она приводится к нормальному виду J(А) = У12. Из формул преобразования координат У1=A1х1 + A2х2 +…+ Anхn . Но тогда J = (A1х1 + A2х2 + … + Anхn)2, т. е. форма распадающаяся.

Если комплексная форма имеет ранг 2, то она приводится к виду

J = z12 + z22 = (Z1 – i z2)×( z1 +i z2).

Подставив вместо Z1 И z2 их выражения из формул преобразования координат, получим в исходных координатах J(А) = (A1х1 + A2х2 + … + Anхn)×(B1х1 + B2х2 + … + Bnхn), т. е. форма распадающаяся.

Если действительная форма имеет ранг 2 и положительный индекс инерции 1, то она приводится к виду J = z12 – z22 = (Z1 – z2)×(Z1 + z2). Подставив вместо Z1 И z2 их выражения, получим J(А) = (A1х1 + A2х2 + … + Anхn)×(B1х1 + B2х2 + … + Bnхn), т. е. форма распадающаяся.

Пример. Будет ли распадающейся над полем действительных чисел квадратичная форма: J = 3Х12 + 3Х1х2 – 2Х1х3 + 8Х1х4 – 2Х2х3 + 5Х2х4 – 2Х3х4 + 5Х42.

Решение. Приведём форму к каноническому виду.

J = (36Х12 + 36Х1х2 – 24Х1х3 + 96Х1х4 + 9Х22 + 4Х32 + 64Х42 – 12Х2х3 + 48Х2х4 – 32Х3х4) – Х22 –

–Х32 – Х42 + Х2х3 – 4Х2х4 + Х3х4 – 2Х2х3 + 5Х2х4 – 2Х3х4 + 5Х42 = (6Х1 + 3Х2 – 2Х3 + 8Х4)2 –

–(Х22 + 3Х2х3 – 3Х2х4 + Х32 + Х42 – 2Х3х4) + Х32 + Х42 – Х3х4 –Х32 – Х42 + Х3х4 –

– 2Х3х4 + 5Х42 = (6Х1 + 3Х2 – 2Х3 + 8Х4)2 – (Х2 + Х3 – Х4)2. Отсюда видно, что ранг данной формы равен 2, а положительный индекс инерции равен 1, следовательно, форма распадается. Действительно,

J = (3Х1 +Х2 – Х3 + 4Х4 + Х2 + Х3 – Х4)×( 3Х1 + Х2 – Х3 + 4Х4 – Х2 – Х3 + Х4).

Отсюда J = (Х1 + Х2 + Х4)×(3Х1 – 2Х3 + 5Х4).

< Предыдущая		Следующая >