40. Билинейные формы. Линейные формы

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р и F –линейное отображение пространства Ln в поле Р (F : Ln® Р).

Определение 58. Линейное отображение F : Ln ® Р Называется Линейной функцией Или Линейной формой, заданной на Ln .

Если Е = (Е1, Е2, ... , Еn) – базис в Ln , А – любой вектор из Ln , то А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn, где Х1, х2, … , хn – любые элементы поля Р. Если F (Ек) = Aк , то F (А) = A1х1 + A2х2 + … + An хn .

Следовательно, любую линейную форму можно задать в виде A1х1 + A2х2 + … + An хn .

Легко показать, что множество всех линейных форм F : Ln ® Р Является линейным пространством над полем Р.

Пусть Ln – n-мерное линейное пространство над полем Р .

Определение 59. Отображение F : (Ln ´ Ln ) ® Р называется Билинейной формой (или Билинейной функцией), заданной на Ln , если для любых векторов А, В, С и любого элемента AÎ Р выполняются условия:

F (А + В, С) = F (А, С) + F (В, С) ; F (А, В + С ) = F (А, В) + F (А, С); F (A×А) = A× f (А).

(Иными словами, билинейная форма линейна по обоим переменным.)

Пусть в Ln зафиксирован базис Е = (Е1, Е2, ... , Еn), А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn,

В = У1Е1 + У2Е2 + … + УnЕn, F (Ек , Ер) = Aкр . Тогда из определения 58 следует

F (А, В) = F () = = , где Aкр – элементы поля Р.

Итак, F (А, В) = (55) – запись билинейной формы в координатах.

Матрица А =

Называется матрицей данной билинейной формы. Если Х И У – столбцы координат векторов А и В, то билинейную форму можно записать в матричном виде: F (А, В) = ХТ× А × У (56)

Если Е1 = (Е11, Е21, ... , Еn1) – другой базис в Ln и Т – матрица перехода от базиса Е к базису Е1, то столбцы координат векторов А И В В этих базисах связаны формулами Х = Т×х1, у =Т×у1. Подставив в формулу (56), получим F (А, В) = (Тх1)Т× А × (Ту1) = (Х1)Т×(ТТ×А×Т)×У1. Следовательно, матрицы билинейной формы в разных базисах связаны формулой

А1 = ТТ×А×Т (57)

Определение 60. Билинейная форма называется Симметрической, если

F (А, В) = F ( В, а) для любых векторов А и В. (57)

Очевидно, верно следующее утверждение:

Теорема 62. Билинейная форма является симметрической тогда и только тогда, когда она в любом базисе имеет симметрическую матрицу.

Теорема 63. В любом базисе евклидова пространства Еn скалярное произведение векторов задаётся симметрической билинейной формой.

Доказательство. По формуле (42) скалярное произведение векторов А и В равно

(А, в) = Х Т×Г×У. Матрица Г – симметрическая, поэтому, согласно формуле (56), скалярное произведение задано симметрической билинейной формой.

< Предыдущая		Следующая >