36. Изоморфизм евклидовых пространств

Определение 52. Два евклидовых пространства Е И Е1 Называются Изоморфными, если они изоморфны как линейные пространства и для любых двух пар соответствующих векторов А, а1 и В, в1 выполняется равенство (А, в) = (А1, в1).

Теорема 47. Два конечномерных евклидова пространства Е и Е1 изоморфны тогда и только тогда, когда dim E = dim E 1.

Доказательство. Þ Пусть Е и Е1 изоморфны. Тогда они изоморфны и как линейные пространства. Из свойств изоморфизма линейных пространств следует, что dim E = dim E 1.

Ü Пусть dim E = dim E 1 = n. Выберем в пространствах Е и Е1 ортонормированные базисы Е = (Е1, Е2, ... , Еn) и Е1 = (Е11, Е21, ... , Еn1) соответственно. Зададим отображение J: Е ® Е1 по следующему правилу. Если А Î Е И А = Х1Е1 + Х2Е2 + … + ХnЕn, то пусть J(А) = Х1Е11 + Х2Е21 + … + ХnЕn1. Это отображение является, очевидно, изоморфизмом между линейными пространствами Е и Е1. Покажем, что при этом отображении сохраняется скалярное произведение векторов. Пусть В Î Е и В = У1Е1+ У2Е2 + … + УnЕn . Тогда J (В) =У1Е11+ У2Е21 + … + УnЕn1. Так как базис Е ортонормированный, то (А, в)= Х1у1 + Х2у2 +…+ Хnуn. Так как базис Е1 ортонормированный, то (J(А), J(В)) = Х1у1 + Х2у2 + … + Хnуn. Следовательно, (А, в) = (J(А), J(В)). Итак, J - изоморфизм между Е И Е1.

Следствие. Если на конечномерном линейном пространстве различными способами задавать скалярные произведения, то все получающиеся при этом евклидовы пространства будут изоморфными.

< Предыдущая		Следующая >