24. Линейные операторы. Определение, примеры и свойства линейных операторов

Пусть L И L1 – два линейных пространства над полем Р .

Определение 31. Отображение J линейного пространства L В линейное пространство L1 называется Линейным оператором, если для любых векторов А И в Из L и любого элемента L Î Р выполняются условия J(А + В) = J(А) + J(В) и J(LА) =LJ(А).

Элемент J(А) называется Образом элемента А, элемент А Называется Прообразом Элемента J(А).

Определение 31 эквивалентно

Oпределению 311: Отображение J линейного пространства L В линейное пространство L1 называется Линейным оператором, если для любых векторов А И в Из L и любых элементов A, B Î Р выполняется условие J(A×А + B×В) = A×J(А) + B×J(В).

Примеры. 1. Отображение J(А) = 01, где А – любой вектор из L, А 01 – нулевой вектор из L1, является, очевидно, линейным оператором. Этот оператор называют Нулевым.

2. Отображение J (А) = А Есть линейный оператор пространства L На себя. Этот линейный оператор называется Тождественным.

3. Пусть Е = (Е1, Е2, е3, … , Еn ) – базис в пространстве Ln и L1 = <Е1, е2, е3>. Пусть J (Х1Е1 + Х2Е2 + Х3Е3 + … + хn Еn ) = Х1Е1 + х2Е2 + х3Е3 . Заданное отображение J есть линейный оператор, действующий из пространства L в его подпространство L1. Этот оператор называется Проекцией пространства L На L1.

Пусть Е = (Е1, Е2, … , Еn ) – базис в пространстве L и F = (f1, f2, … , fN ) – упорядоченная совокупность векторов из L1.

Теорема 31. Существует и только один линейный оператор J, действующий из L В L1, при котором J(Ек ) = Fк для всех К = 1, 2, … , N .

Доказательство. Если А – любой вектор из L , то А = Х1Е1 + Х2Е2 + … +Хn Еn . Зададим отображение J следующим образом: J (А) = Х1F1 + Х2F2 + … + Хn Fn . Так как J (А)Î L1, то J Действует из L В L1. Если L Î Р, то J(LА) = L×х1F1 + L Х2F2 + … + L Хn Fn = L (Х1F1 + Х2F2 + … +Хn Fn) = L J (А). Если В = У1Е1 + У2Е2 + … +Уn Еn , То J(А + В) = (Х1 + у1) F1 + (Х2 + у2 )F2 + … + (Хn + УN) Fn = (Х1F1 + Х2F2 + … + Хn Fn ) + (У1Е1 + У2Е2 + … +Уn Еn ) = J(А) + J(В). Итак, J - линейный оператор из L В L1. Кроме того J (Ек ) = 1×Fк . Следовательно, J - искомый линейный оператор. Обратно, если Y - любой линейный оператор, при котором Y (Eк ) = Fк , то по определению линейного оператора Y (А) =Y (Х1Е1 + Х2Е2 + … +Хn Еn) = Х1Y(Е1) + Х2Y(Е2) + … + ХnY(Еn) = Х1F1+ Х2F2 +…+ Хn Fn = J(А). Следовательно, J - единственный искомый оператор.

Следствие. Для того чтобы задать линейный оператор, действующий из линейного пространства L В линейное пространство L1 достаточно выбрать базис (Е1, Е2, … , Еn ) в пространстве L и упорядоченную систему векторов (f1, f2, … , fn ) в пространстве L1 и задать отображение по правилу: J (Х1Е1 + Х2Е2 + … +Хn Еn ) = Х1F1 + Х2F2 + … + Хn Fn.

Пример. Даны два линейных пространства L3 И L5 . Пусть Е = (Е1, Е2, е3) и F = (f1, f2, f3 , f4 , f5 ) – базисы в L3 И L5 соответственно. Пусть А1 = (1, 4, –1, 3, 0), А2 = (3, 0, 1, –3, 7), А3 = (1, 1, 2, 2, 0) – три вектора из L5 . Пусть линейный оператор J: L3 ® L5 задан по правилу J(Х1Е1 + Х2Е2 + Х3Е3 ) = Х1А1 + Х2А2 + Х3А3. Найти образ вектора С = (5, –1, 3).

Решение. J (С) = 5А1 – А2 + 3А3 = (5,20,–5,15,0) – (3,0,1,–3,7) + (3,3,6,6,0) = (5, 23, 0, 24, –7).

Свойства линейных операторов.

Пусть J: Ln ® Lm линейный оператор.

10. J (0) = 01, где 0 И 01 – нули пространств Ln и Lm соответственно.

20. Произведение двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть J: Ln ® Lm и Y: LM ® Lк . Тогда (Y×J): Ln ® Lк . Если А И в – любые два вектора из Ln и L - любой элемент из поля Р, то (Y×J)(А + В) = Y (J (А + В)) = Y (J (А) + J (В)) = = Y (J (А)) + Y (J (В)) = (Y×J)(А) + (Y×J)(В); (Y×J)(LА) = Y (J (LА)) = Y (L ×J (А)) = = L×(Y (J (А)) = L×(Y×J)(А). Итак, отображение (Y×J) удовлетворяет всем требованиям определения 31. Следовательно, (Y×J) – линейный оператор.

Определение 32. Суммой двух линейных операторов J: Ln ® Lm и Y: LN ® LM называется такое отображение w: Ln ® Lm , что для любого элемента А Î Ln верно равенство W (А) = J (А) + Y (А).

30. Сумма двух линейных операторов есть линейный оператор.

Пусть А, в Î L и A, B Î Р. Тогда W (A×А + b×В) = J (A×А + b×В) + Y (A×А + b×В) = (A×J(А) + + B×J(В)) + (A×Y(А) + B×Y(В)), Следовательно, по определению 311, W - линейный оператор, действующий из Ln в Lm .

40. Нулевой линейный оператор играет роль нулевого элемента при сложении линейных операторов.

Определение 32. Произведением линейного оператора J: Ln ® Lm и элемента L Î Р называется такое отображение из Ln в Lm , что (LJ)(А) = L×(J (А)) для любого А Î Ln .

50. Произведение линейного оператора на элемент поля Р Есть линейный оператор.

Докажите это утверждение самостоятельно.

60. 1×J = J для любого линейного оператора J.

70. 0×J – нулевой оператор для любого линейного оператора J.

80. Если J и Y – два линейных оператора, A, B Î Р, J: Ln ® Lm и Y: LN ® LM , то (A×J + B×Y) – линейный оператор, действующий из Ln в LM .

Теорема 32. Множество линейных операторов, действующих из линейного пространства Ln в Lm является линейным пространством (оба пространства над одним и тем же полем).

Доказательство Следует из свойств суммы линейных операторов и произведения линейного оператора на элемент поля Р.

< Предыдущая		Следующая >