04. Комплексные числа
Определение 4. Комплексным числом Называется выражение вида А + ВI, где А И В – Действительные числа, I2 = -1 (I Называют Мнимой единицей).
Если Z = А + ВI, то А называется действительной частью числа Z, а ВI – его мнимой частью. Говорят, что комплексное число задано в алгебраической форме. Во множестве комплексных чисел вводятся операции сложения и умножения следующим образом. Если Z = А + ВI И Z1 = А1 + В1I два комплексных числа, то
Z + z1 = (А + А1) + (В + В1)×i, Z×Z1 = (Аа1 - Вв1) + (Ав1 + А1в)×I.
Эти операции обладают следующими свойствами.
1. Сложение и умножение для любой пары комплексных чисел определено и однозначно.
2. Z + z1 = Z1 + z, Z × z1 = Z1× z для любых Z И z1 (коммутативный закон сложения и умножения).
3. Z + (Z1 + Z2) = (Z + z1) + Z2, Z ×(Z1 × Z2) = (Z × z1) × Z2 для любых Z, Z1 И Z2 (ассоциативный закон сложения и умножения).
4. Z × (Z1 + Z2) = Z ×Z1 + Z× z2 для любых Z, Z1 И Z2 (дистрибутивный закон).
5. Если 0 = 0 + 0×I, то Z + 0 = Z Для любого Z.
6. Если -Z = -А + (-В)I, то Z + (-z) = 0, т. е. для любого комплексного числа существует противоположное число.
Число 
= А - ВI Называется Сопряжённым Для числа z, z + = 2А, Z×= а2 + В2. Следовательно, если Z ¹ 0, то Z× ¹ 0.
7. Если 1 = 1 + 0×I, То 1×Z = Z.
8. Если Z ¹ 0 и 
, то 
. Следовательно, для каждого отличного от нуля комплексного числа существует обратное число.
Итак, во множестве комплексных чисел введены такие же операции (сложение и умножение), как и во множествах рациональных и действительных чисел. И свойства этих операций во всех трёх множествах одинаковы. Такие множества называются Полями. Их общее обозначение Р. Конкретные обозначения: Q – поле рациональных чисел, R – Поле действительных чисел, С – поле комплексных чисел.
Зафиксируем на евклидовой плоскости прямоугольную систему координат. Пусть Z = А + Bi. Будем говорить, что точка с координатами (А, B) И вектор с этими же координатами изображают данное комплексное число. Длину вектора 
назовём Модулем числа Z, Угол (ориентированный) между осью (ОХ) и этим вектором назовём Аргументом Данного числа. Очевидно, каждое комплексное число имеет бесконечно много значений аргумента. Так как А = пр(ОХ) и B = пр(ОУ), то А = R×CosJ,
B = R×SinJ, R2 = А2 + B2, tgJ = 
. Подставив значения А И B в алгебраическую форму числа Z, получим Z = R (cosJ + I×SinJ). Это Тригонометрическая форма Комплексного числа. Легко проверить, что Z × z1 = R×R1(cos(J + J1) + sin(J + J1)); 
, если Z1 ¹ 0. Отсюда Zn = Rn (cosNJ + I×SinNJ). Можно показать, что
, где К = 1, 2, … , N И 
- арифметическое значение корня из действительного числа R. Таким образом, корень N-Ой степени из комплексного числа имеет N Различных значений.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
