02. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса

Теория систем линейных уравнений кладёт начало большому и важному разделу алгебры – линейной алгебре. Отличие от элементарной алгебры в линейной алгебре изучаются системы любого числа уравнений с любым числом неизвестных. В качестве коэффициентов при неизвестных будем использовать действительные и комплексные числа. Неизвестные будем обозначать Х1, х2, …, хN. Если уравнения занумеровать числами 1, 2, …, m, то коэффициент при к-ом неизвестном в р-ом уравнении будем обозначать Рк,, свободный член р-го уравнения будем обозначать . Следовательно, система уравнений запишется следующим образом:

(1)

Очевидно правая часть системы (1) вполне определяется таблицей своих коэффициентов, т. е. прямоугольной таблицей из m строк и n столбцов:

(2)

Определение 1. Матрицей порядка M´N называется таблица, состоящая из m строк и n столбцов. Если m = n, то матрица называется Квадратной матрицей N-го порядка.

Матрица (2) называется Матрицей системы (1). Матрица

(3)

Называется Расширенной матрицей этой системы.

Отметим следующие свойства системы (1), часто помогающие при её решении.

· Если в системе (1) два или несколько уравнений поменять местами, то получится система уравнений, эквивалентная данной системе.

· Если в системе (1) одно из уравнений умножить на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

· Если к одному из уравнений системы (1) прибавить другое её уравнение, умноженное на отличное от нуля действительное число, то получится система уравнений, эквивалентная данной.

· Если система (1) содержит два пропорциональных уравнения, то, удалив одно из этих уравнений, мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

· Если в системе (1) есть уравнение, все коэффициенты которого равны нулю, то после удаления этого уравнения мы получим систему уравнений, эквивалентную данной.

Описанные преобразования называются Элементарными преобразованиями системы (1).

Соответствующие преобразования матрицы (3) называются элементарными преобразованиями этой матрицы.

Одним из методов решения системы (1) является метод Последовательного исключения неизвестных или Метод Гаусса.

Пусть дана система (1). Вместо того, чтобы преобразовывать эту систему, достаточно проводить соответствующие преобразования с её расширенной матрицей (3). Переставим, если нужно, строки матрицы так, чтобы в верхнем левом углу стоял отличный от нуля элемент. Будем считать, мто матрица (3) уже удовлетворяет этому условию. Умножив первую строку на число (-), прибавим её ко второй строке. В результате на первом месте во второй строке будет стоять 0. Умножив первую строку на число (-), прибавим её к р-ой строке. В результате на первом месте в р-ой строке будет стоять 0. Сделаем это для всех р от 2 до m. Получим матрицу (4).

Если в матрице (4) есть строка, состоящая целиком из нулей, то её отбросим. Если есть пропорциональные строки, то из них оставим только одну. Пусть в матрице (4) все лишние строки уже отброшены. Строки с номерами 2, 3, … , m переставим, если нужно, так, чтобы во второй строке на втором месте стояло число, отличное от нуля. Пусть С22 ¹ 0. Умножим вторую строку на (-) и прибавим к к-ой строке для всех к от 3 до m. В результате все элементы второго столбца, кроме первых двух будут равны нулю. (Если в матрице (4) все Ск2 Равны нулю, то сразу переходим к третьей строке). Продолжая описанную процедуру дальше, мы получим либо треугольную, либо трапециевидную матрицу ( (5) или (6) ).

(5), (6)

В этих матрицах все диагональные элементы, кроме может быть последнего, отличны от нуля.

Если матрица (3) привелась к виду (5), то система (1) эквивалентна системе

(7)

Очевидно, ЕNn и Fn не могут быть равны одновременно нулю. Если ЕNn ¹ 0, то система (7), а поэтому и система (1), имеет единственное решение. Действительно, из последнего уравнения можно найти Хn. Подставив его значение в предпоследнее уравнение, найдём Хn-1 и так далее. Если же ЕNn = 0, то Fn ¹ 0. В этом случае последнее уравнение, а поэтому и вся система, не имеет решения.

Если матрица (3) привелась к виду (6), то система (1) будет эквивалентна системе

(8)

Если тогда и последнее уравнение не имеет решений. Следовательно, не имеет решений и вся система. Если же коэффициенты не все равны нулю, то последнее уравнение имеет бесконечно много решений (одно неизвестное этого уравнения можно выразить через остальные). Но тогда из предпоследнего уравнения можно найти и, поднимаясь по системе, можно найти все неизвестные. Система будет иметь бесконечно много решений.

Метод Гаусса можно запрограммировать и используя полученную программу передать решение системы линейных уравнений на ЭВМ. Недостатком метода является то, что даже в случае определённой системы нельзя найти формулы, выражающие решение через коэффициенты уравнений и свободные члены, а так же не даёт возможности сформулировать условия совместности системы через коэффициенты и свободные члены. Последнее бывает очень важно в различных теоретических исследованиях.

< Предыдущая		Следующая >