1.2.3. Свойства определителей

1. Для любой квадратной матрицы порядка п

Тем самым определитель может быть вычислен не только с помощью разложения по первой строке (как в исходном определении), но и с помощью разложения по первому столбцу.

Доказательство

Для матриц второго порядка это свойство легко проверяется. Допустим, что доказываемое свойство имеет место для матриц порядка П – 1. Докажем, что оно выполняется для матриц порядка П. В силу определения имеем:

(1)

Пользуясь предположением индукции, вычислим M1J, 2 ≤ J ≤ N, с помощью разложения по первому столбцу. Тогда

Где (M1J)I1 – определитель, получаемый из матрицы А вычеркиванием 1-ой строки и J-го столбца, а также I-й строки и 1-го столбца. Подставляя это выражение в (1), получаем:

В силу того, что

Имеем:

Треугольной матрицей называется матрица вида

(2)

Упражнение 5.

Вычислим определитель треугольной матрицы, разлагая его по первому столбцу. В силу того, что в первом столбце только один элемент отличен от нуля, имеем:

Продолжая этот процесс, получим:

Таким образом, Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Матрицей, Транспонированной к матрице А = ||Aij|| размера Т×п, называется матрица АТ = ||Bij|| размера П×т, где Bij = Aji. Иными словами, чтобы из исходной матрицы получить транспонированную, надо ее строки поставить в соответствующие столбцы.

Пример 5. Пусть

Тогда

Упражнение 6. Для

Найти АТ и (А2)Т.

Решение.

Матрицу АТ получим из матрицы А следующим образом: элементы 1-ой строки матрицы А образуют 1-ый столбец матрицы АТ, элементы 2-ой строки А – 2-ой столбец АТ, элементы 3-ей строки А – 3-ий столбец АТ:

Найдем матрицу А2:

Тогда

2. Для любой квадратной матрицы А |A| = |AT|.

Доказательство.

Для матриц второго порядка это свойство легко проверяется. Допустим, что доказываемое свойство имеет место для матриц порядка П – 1. Докажем, что оно выполняется для матриц порядка П. Разложим определитель матрицы АТ по первому столбцу:

Где M1I* - определитель, получаемый из матрицы АТ вычеркиванием I-ой строки и 1-го столбца. В силу предположения индукции M1I*= M1I. Тем самым

Из свойства 2 вытекает равноправность строк и столбцов, т. е. если какое-либо утверждение об определителе доказано относительно строк, то оно верно и относительно столбцов. Далее в силу сказанного все свойства будут доказываться лишь для строк.

3. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель изменит знак, а модуль его значения не изменится.

Доказательство.

Докажем сначала это свойство для двух соседних строк. Снова воспользуемся методом полной индукции. Для матрицы 2-го порядка это свойство легко проверяется. Предположим, что перестановка двух соседних строк меняет знак определителя порядка П – 1. Пусть в матрице

Переставляются строки с номерами K и K + 1. Матрицу с переставленными строками обозначим через

Напишем разложение определителей этих двух матриц по первому столбцу:

При I ≠ K,K + 1 в силу предположения индукции Ni1 = - Mi1. Остается заметить, что Nk1 = Mk+1,1, a Nk+1,1 = Mk1. Тогда

Пусть теперь в матрице переставляются строки с номерами I и J, I < J. Перестановку этих строк можно осуществить, переставляя только соседние строки, следующим образом. Сначала J-я строка последовательно переставляется с J – I строками, стоящими над ней, а затем I-я строка последовательно переставляется с J – I - 1 строками, стоящими под ней. Всего будет переставлено 2(J – I) – 1 соседних строк. Поэтому определитель нечетное число раз будет менять знак и в результате поменяет знак.

Следствие 2.1. Если у квадратной матрицы А имеются две одинаковые строки (столбца), то |A| = 0.

Доказательство.

Пусть у матрицы А имеются две одинаковые строки. Поменяв их местами, получим ту же самую матрицу, но по свойству 3 ее определитель должен поменять знак, т. е. получаем, что |A| = - |A|, что возможно только при |A| = 0.

4. Определитель матрицы может быть разложен по любой строке или столбцу, то есть имеют место равенства

Доказательство.

Как уже отмечалось, в силу равноправности строк и столбцов достаточно доказать разложимость по любой строке. Положим

Матрицу В можно получить из матрицы А, последовательно меняя K-ю строку со строками, находящимися над ней. Поскольку таких перестановок будет K – 1 (столько строк лежит выше K-ой строки), то по свойству 3

|A| = (-1)K – 1 |B|.

Вычислим теперь определитель матрицы В с помощью разложения по первой строке:

Нетрудно убедиться, что N1J = Mkj, J = 1, ..., N. Поэтому

Алгебраическим дополнением элемента Aij Называется величина

Aij = (-1)I+jMij.

Равенства в свойстве 4 могут быть записаны через алгебраические дополнения:

(5)

Пример 6. Вычислим определитель из примера 4, разлагая его по третьему столбцу (в нем больше всего нулей):

Упражнение 7. Вычислить определитель

Решение.

Наиболее удобно вычислять этот определитель разложением по 3-му столбцу (при этом потребуется вычислить только один определитель 3-го порядка):

Линейной комбинацией Матриц А1, …, Ат одинакового размера называется матрица А = L1А1 + … + LТАт, где L1, …, LТ – некоторые числа. В случае, если матрицы А1, …, Ат имеют размеры 1 × П, говорят о линейной комбинации строк, а если размеры этих матриц П × 1, то говорят о линейной комбинации столбцов.

5. Если у квадратной матрицы А I-я строка (столбец) Есть линейная комбинация строк (столбцов) АI′ и АI′′, Т. е. имеет вид L1АI′ + L2Ai′′, то |A| = L1|A′| + L2|A′′|, Где А′ и А′′ - матрицы, у которых I-е строки (столбцы) Заменены на АI′ и АI′′ соответственно.

Доказательство.

Пусть

Тогда, разлагая определитель матрицы А по I-ой строке, будем иметь:

Положив в этом свойстве L2 = 0, получаем

Следствие 2.2. При умножении строки (столбца) квадратной матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Упражнение 8. Пусть А – квадратная матрица порядка П с определителем |A|, a L – число. Найти | LA|.

Решение.

Если

Поэтому, используя следствие 2.2, можно сказать, что определитель |LA| получается из определителя |A| при умножении Каждой из П строк матрицы на число L, следовательно, |LA| = LN |A|.

Умножив строку (столбец) на L = 0, из следствия 2.2 получаем

Следствие 2.3. Если в квадратной матрице А имеется строка (столбец) с нулевыми элементами, то |A| = 0.

6. Определитель не изменится, если к любой строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число.

Доказательство.

Предположим, что к I-ой строке матрицы A = ||Aij|| прибавлена K-ая строка, умноженная на число L. Тогда по свойству 5, следствию 2.2 и следствию 2.1

Пример 7. Вычислим определитель матрицы

С помощью свойства 6. Вычтем из третьего столбца первый, а к четвертому столбцу прибавим первый, умноженный на 2. После этого разложим полученный определитель по второй строке. Имеем:

В определителе третьего порядка вынесем множитель 2 из второго столбца:

Теперь прибавим ко второй строке первую, умноженную на 2, и вычтем из третьей строки первую:

Упражнение 9. Вычислить определитель матрицы

Пользуясь свойствами определителей.

Решение.

Приведем определитель матрицы А к треугольному виду. Для этого поменяем в нем местами 1-ую и 2-ую строки ( при этом по свойству 3 определитель поменяет знак), а затем 1-ый и 2-ой столбец (определитель вновь поменяет знак, то есть окажется равным |A|). Получим:

Теперь вычтем из 2-ой строки 1-ую, умноженную на 2 (по свойству 6 определитель при этом не изменится):

Преобразуем определитель так, чтобы элемент А42 стал равным нулю. Для этого умножим 4-ю строку на 5 (тем самым по следствию 2.2 весь определитель умножится на 5) и вычтем из нее 2-ую строку, умноженную на 2:

И наконец, прибавим к 4-ой строке 3-ю, умноженную на 13 (напомним еще раз свойство 6: такое преобразование не меняет значения определителя):

(при вычислении определителя треугольной матрицы использован результат, полученный в упражнении 2.5). Итак, |A| = 60.

< Предыдущая		Следующая >