1.1.4. Произведение матриц

Умножение матрицы А = ||Aij|| размера на матрицу В = ||Bij|| размера определено лишь для случая, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В, т. е. когда N=L. В этом случае произведение матриц определяется следующим образом:

Произведением матриц АВ называется матрица

С = ||СIj|| размера , у которой

Иначе говоря, элемент Cij равен сумме произведений элементов I-ой строки матрицы А на соответствующий элемент J-ого столбца матрицы В. С помощью знака суммирования можно записать это так:

Пример 2.

Найти произведение матриц

и .

Имеем

Отметим, что произведение матриц некоммутативно, т. е. в общем случае АВ Не равно ВА. В приведённом выше примере матрицу В просто нельзя даже умножить на матрицу А. Но, даже если А и В – квадратные матрицы одного порядка (тогда существуют произведения АВ и ВА), то, как показывает следующий пример, произведения АВ и ВА могут не совпадать.

Пример 3.

Пусть , .

Тогда ,

Единичной матрицей называется квадратная матрица вида

Упражнение 5.

Доказать, что для любой квадратной матрицы А

АЕ=ЕА=А,

Где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Доказательство.

Пусть А и Е – квадратные матрицы П-го порядка, В = АЕ.

Тогда Bij = Ai1E1J + Ai2E2J + ... + Aijejj + ... + Ainenj.

Но Eij = 0 при I, не равном J, a Ejj = 1. Следовательно, Bij = Aij·1 = Aij. Таким образом, все элементы матрицы В равны соответствующим элементам матрицы А, то есть В = А.

Если матрица С = ЕА, то СIj = еI1А1J + еI2А2J + ... + ЕIiАIj + ... + ЕInАNj = 1·Aij = Aij

(учитываем, что Eii = 1, Eij = 0 при I, не равном J). Значит, С = А. Утверждение доказано.

Приведём ряд свойств произведений матриц.

1. (АВ)С=А(ВС)

Доказательство.

Пусть размер матрицы A = ||Aij|| матрицы B = ||Bij|| - а матрицы

C = ||Cij|| Имеем AB = ||AIj||, где

Тогда (AB)C = ||GIj||, где

Где - элемент матрицы ВС. Тем самым, если обозначить элемент матрицы А(ВС) через G’Ij, будем иметь

2. А(В+С)=АВ+АС, (В+С)А=ВА+СА

Доказательство.

Пусть матрица A = ||Aij|| имеет размер а матрицы B = ||Bij|| и C = ||Cij|| имеют размер Тогда для элементов матрицы А(В+С)= ||GIj|| имеем

Из определения произведения матриц вытекает, что АВ= ||AIj||, а АС= ||BIj||, т. е. А(В+С)=АВ+АС. Аналогично доказываем, что (В+С)А=ВА+СА.

Упражнение 1.6.

Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Вывести формулу для (А+В)2 (при натуральном П Под СN Понимается произведение С·С·…·С).

Решение.

Используем свойства сложения и умножения матриц:

(А + В)2 = (А + В)(А + В) = (А + В)А + (А + В)В = А·А + В·А + А·В +В·В =

= А2 + В·А + А·В +В2.

Заметьте, что результат может совпасть с

Формулой сокращенного умножения

(А + В)2 = А2 + 2АВ + В2

Только в том случае, если АВ = ВА.

В общем случае это неверно!

Ответ: (А + В)2 = А2 + В·А + А·В +В2.

Упражнение7.

Пусть А и В – квадратные матрицы одного порядка. Разложить на множители выражение АВ+2В.

Решение.

Используем свойство единичной матрицы (см. упражнение 5):

АЕ = ЕА = А.

Следовательно, В = ЕВ. Тогда АВ + 2В = АВ + (2Е)В = (А + 2Е)В

(использовано свойство 2 произведения матриц).

Ответ: АВ + 2В = (А + 2Е)В.

Упражнение 8.

Пусть А,В и С – квадратные матрицы одного порядка. Разложить на множители выражение А2С +АС 2.

Решение.

Поскольку А2 = А·А, С2 = С·С, запишем заданный матричный многочлен в виде: А2С +АС 2 = А·А·С +А·С·С и воспользуемся свойствами произведения матриц:

А·А·С +А·С·С = А(А·С +С·С) = А((А + С)С) = А(А + С)С.

Ответ: А2С +АС 2 = А(А + С)С.

Упражнение 9.