36.Функции от матрицы. Интерполяционный многочлен Лагранжа — Сильвестра
Определение 1:
Пусть даны ф-ия и A – вещественная кв. матр. порядка N;
- все ее веществ. с. зн-я. Будем говорить, что f(t) определена на спектре матр. A, если существует
набор этих чисел будем называть значениями ф-ции f(t)на спектре матр. A. Здесь
- max размер жорд. Клетки, соответ. соб. зн-ю
. Пусть f(t) – функция, определенная на спектре матр. A и пусть P(t) – многочлен, значения которого на спектре матр. A совпад. с соответств. Значениями функции f(t). Тогда полагаем, что f(A)=P(A).
Таким образом, ф-цию f(A) от матриц. A можно определить по следующей формуле: , где
,
,
Здесь - размер жорд. клетки (индекс i – зафикс. и опущен).
Замечание 1:
Выражение для ф-ции от матр. не зависит от вида матр. T
Теорема 1 (о существовании интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра):
Пусть f(t) определена на спектре матр. A. Тогда существует единственный многочлен степени меньшей чем степень минимального многочлена матр. A И совпадающей на спектре матр. A с функцией f(t).
Доказательство: Без док-ва
Определение 2:
Многочлен из теоремы 1 наз-ся интерполяционным мн-ном Лагранжа-Сильвестра ф-ции f(t).
Вывод:
По определению ф-ции от матрицы имеем .
Замечание 2:
Из вывода следует, что ф-цию от матр. можно находить также с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа-Сильвестра.
Теорема 2:
Пусть характеристический мн-н матр. A имеет только простые (некратные) корни. Тогда интерполяционный мн-н Лагранжа-Сильвестра имеет вид:
, где
- характерист. числа (с. зн-я) веществ. матр. A порядка N.
Доказательство: Без док-ва
Отметим, что в условии Теор.2 минимальный мн-н . Если обозначить
, то формула для
принимает вид:
Теорема 3:
Пусть - минимальный мн-н матр. A;
- все ее характеристические числа. Обозначим
. Если функция f(t) определена на спектре матр. A, то интерполяционный многочлен Лагр.-Сильвестра имеет вид:
Доказательство: Без док-ва
Замечание 3:
В последней формуле выражение в фигурн. скобках – сумма первых членов разложения ф-ции
по формуле Тейлора в окрестностях
.
< Предыдущая |
---|