25.Одновременное приведение пары квадратичных форм к каноническому виду

Пусть и - 2-е эрмитовы полуторалинейные формы в унитарном пространстве U; и - соответствующие им эрмитовы квадратичные формы. Поставим следующую задачу: найти такое невырожденное преобразование переменных, одновременно приводящее эрмитовы квадратичные формы и к каноническому виду (точнее, одна квадратичная форма приводится к каноническому виду, другая к нормальному виду).

Теорема 1:

Пусть и - 2-e эрмитовы квадратичные формы в унитарном пр-ве U И пусть Θ:>0 (т. е. положительна определена). Тогда в пространстве U существует базис , в котором эрмитовы квадратичные формы и принимают канонический вид: ,

, где - координаты вектора X в базисе , - вещественные числа.

Доказательство:

Рассмотрим эрмитову полуторалинейную форму , полярную к эрмитовой квадратичной форме (которая положительно определена). Тогда в унитарном пр-ве U можно ввести скалярное произведение (еще одно) такое что . Это можно сделать так как - положит. определена. Комплексное линейное пространство U с введенным в нем скалярным произведением является так же унитарным. По теореме о приведении эрмитовой квадратичной формы к каноническому виду в пространстве U существует базис ортонормированный в смысле скалярного произведения такой, что . Кроме того, т. п. базис - ортонормированный, то

но

Теорема 2:

Пусть и - 2-e квадратичные формы, заданные в евклидом пр-ве E и пусть

Θ: >0. Тогда в унитарном пр-ве E существует базис , в котором квадратичные формы и имеют канонический вид:

,

Коэффиц. определяются из уравнения , а соотвествующие базисные в-ры определяются из системы урав-ий , при этом ; .

Доказательство: Без доказательства

< Предыдущая		Следующая >