09.Нормальный вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм. Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра

Если после приведения квадратичной формы A(X,X) к каноническому виду совершить еще одно невырожденное преобразование координат, определяемое формулой , то получим, так называемый нормальный вид квадратичной формы , где принимает одно из трех значений: -1, 0 или 1.

Как отмечалось в Замечании 2 предыдущего параграфа, приведение квадратичной формы к каноническому виду можно осуществить различными преобразованиями координат (канонический вид квадратичной формы неоднозначен), однако, с точностью до нумерации переменных получается один и тот же нормальный вид квадратичной формы. Это подтверждает следующая теорема.

Теорема (закон инерции квадратичной формы):

Число положительных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы называемое положительным индексом инерции; число отрицательных коэффициентов называемое отрицательным индексом инерции и число нулевых коэффициентов называемое дефектом квадратичной формы являются инвариантами, т. е. не зависят от базиса, в котором данная квадратичная форма принимает нормальный вид.

Доказательство: Пусть имеются 2-а базиса, в которых квадратичная форма A(X,X) принимает нормальный вид: в базисе

в базисе .

Здесь полагаем, что т. е. в этих 2-х базисах (и во всех остальных!) нулевые коэффициенты в нормальном виде квадратичной формы отсутствуют. Очевидно, что для доказательства этой теоремы достаточно предположить, что .

Будем доказывать методом от противного, т. е. предполагаем, что ; пусть, например, .

Рассмотрим следующие пространства: и . Очевидно, что . Применим формулу Грассмана: , т. е. пространство - непустое, следовательно, существует хотя бы один ненулевой элемент , т. к. , то .

Точно также , поэтому . Т. к. , то с одной стороны , с другой стороны . Полученное противоречие доказывает, что .

Аналогично доказываются другие 3-и случая: .

Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

Определение: Квадратичная форма A(X,X) в вещественном линейном пространстве V называется положительно определенной, если , причем .

Квадратичная форма A(X,X) называется отрицательно определенной, если ; причем

Пусть - базис в V, , тогда , при этом .

Рассмотрим матрицу Ae данной формы

Главными минорами матрицы Ae назовем определители (окаймляющие левый верхний угол матрицы) .

Теорема (критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы):

Квадратичная форма A(X,X) является положительно определенной тогда и только тогда, когда все числовые миноры положительны, т. е.

Квадратичная форма A(X,X) является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда знаки главных миноров чередуются, т. е.

При любой другой комбинации знаков главных миноров знак квадратичной формы не определен.

Доказательство: (Без доказательства).

< Предыдущая		Следующая >