06.Матрица билинейной формы и ее преобразование при переходе к новому базису

Определение: Матрица , где называется матрицей AE билинейной формы A(X,Y) в базисе . Элементы этой матрицы называются коэффициентами билинейной формы в данном базисе.

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе от одного базиса к другому.

Пусть A(X,Y) - билинейная форма в вещественном линейном пространстве V. - старый базис, - новый базис, - матрица перехода от (E) к .

Теорема: - матрицы билинейной формы A(X,Y) в базисах (E) и , соответственно, T` - транспонированная матрица перехода.

Доказательство: Вспомним, что или , отсюда .

Запишем:

Теорема: Пусть в линейном пространстве V фиксированный базис . Тогда между множеством билинейных форм и множеством квадратичных матриц порядка N существует взаимнооднозначное соответствие.

Доказательство: Фиксируем базис в пространстве V. Для каждой билинейной формы A(X,Y) строим однозначную матрицу .

Обратно, если дана матрица , то можно построить сумму получаем билинейную форму B(X,Y), однозначность которой вытекает из однозначности операций сложения и умножения чисел (B(X,Y) - числовая функция) #

< Предыдущая		Следующая >