01.Образ и ядро линейного оператора. Ранг и дефект линейного оператора

Пусть - линейный оператор действующий в линейном пространстве V (комплексном или вещественном)

Определение: Совокупность всевозможных векторов вида называется образом оператора A и обозначается ImA. Таким образом .

Определение: Совокупность всевозможных векторов для которых называется ядром оператора A и обозначается KerA. Таким образом .

Утверждение: образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами линейного пространства V.

Доказательство: В самом деле в силу линейности оператора А имеем:

1) тогда и т. к то

и т. к. , то является подпространством пространства V.

2) отсюда .

является подпространством пространства V. #

Пример:

Пусть V – n мерное комплексное или вещественное линейное пространство.

1) Тождественный оператор , при этом Ax = Ix = X, тогда ImA=ImI=V, KerA=KerI={θ}

/ ядро состоит из единственного нулевого элемента /

2) Нулевой оператор, тогда

3) Рассмотрим оператор дифференцирования на пространстве многочленов степени не выше N, тогда отсюда. Видно, что во всех приведенных примерах справедливо:

, что не является случайным.

Теорема (о сумме размерностей образа и ядра линейного оператора) :

Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве V. Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора равна размерности данного линейного пространства, т. е.

Доказательство:

Пусть , причем

Выберем в пространстве V произвольный базис . Поскольку по определению , то можно записать, что линейная оболочка, порождаемая совокупностью образов базисных векторов , причем , где R – максимальное число л. н.з. векторов в системе. Но координаты именно этих векторов стоят в столбцах матрицы линейного оператора А в базисе, поэтому .

Рассмотрим ядро оператора А: .

В выбранном базисе равенству соответствует однородная СЛАУ:, которая, как известно, имеет (N-R) л. н.з. решений, образующих ФСР. Поскольку неизвестными данной системы являются координаты векторов, составляющих KerA, то отсюда заключаем, что dim(KerA)=N-R. В результате получаем, что

Определение: Размерность образа оператора называется рангом оператора, размерность ядра оператора называется дефектом оператора.

Определение: Линейный оператор называется невырожденным, если в произвольном базисе (E) данного линейного пространства V Оператор А имеет невырожденную матрицу .

Следствие: Если А – невырожденный линейный оператор, то его образ совпадает со всем пространством, в котором этот оператор действует.

Доказательство: Если , то по предыдущей теореме запишем . По Свойству 40 невырожденных операторов (докажем позже в параграфе 12 главе 7) равенство возможно только при отсюда откуда . Т. к. , то отсюда следует, что .

Определение: Подпространство L пространства V называется инвариантным относительно линейного оператора А, если .

Теорема (об инвариантности образа и ядра линейного оператора):

Образ и ядро линейного оператора А являются подпространствами инвариантными относительно оператора А.

Доказательство:

1) Пусть , т. к. то и поэтому , т. е. подпространство ImA является инвариантным относительно оператора А.

2) Пусть . Тогда, т. у. а значит подпространство KerA инвариантно относительно оператора А.

Следующая >