Лекция 6

План лекции

2.3.3  Дифференциальная функция распределения непрерывных

Случайных величин

2.4  Числовые характеристики случайных

2.4.1 Математическое ожидание и его свойства.

2.4.2 Дисперсия случайных величин и ее свойства

2.3.3  Дифференциальная функция распределения непрерывных

Случайных величин f(x) и ее свойства

Способ, когда закон распределения непрерывной случайной величины задают с помощью интег­ральной функции, не является единственным. Гораздо чаще его задают с по­мощью дифференциальной функции распределения вероятностей, которую обозначают f(x). Эту функцию также называют плотностью распределения вероятностей.

 

Дифференциальной функцией распределения называется 1-я производная от интегральной функции распределения

.

Для дискретной случайной величины функция распределения будет иметь разрывы, и поэтому она не применяется для дискретных величин.

Теорема: Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение на интервале (а, b) равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в этих пределах

Доказательство: Будем исходить из известного: P(a <Х < b) = F(b)–F(a)

Отсюда , если

где z – переменная интегрирования.

Свойства дифференциальной функции распределения

1. , т. к. это производная от неубывающей функции.

2. , следует из доказательства теоремы,

F (X) Dx элемент вероятности.

3. .

Пример: Найти выражение для дифференциальной функции F(X), если интегральная функция описывается выражением

;

Полученное выражение описывает функцию f(x) на интервале (,) ; вне этого интервала она равна 0 как производная от констант 0 и 1.

2.4  Числовые характеристики случайных величин

Рассмотренные интегральная и дифференциальная функции распределения однозначно и в полной мере определяют характер случайной величины. Однако не всегда есть возможность определить закон распределения вероятностей. Кроме того, часто этого и не требуется, так как используют числовые характеристики случайной величины, которые описывают случайную величину не в деталях, а суммарно. К числу таких характеристик случайной величины относятся:

1. Мо - модуль ;

2. Ме - медиана;

3. М[X] - математическое ожидание;

4. D[X] - дисперсия;

5.M[Xk] - момент k-го порядка;

6. E[X] - эксцесс;

7. S[X] - коэффициент асимметрии (асимметрия ).

 

Числовые характеристики случайных величин – это не случайные числа.

Модулем дискретной случайной величины называется то ее возможное значение, которое имеет наибольшую вероятность появления.

Для непрерывной случайной величины модуль соответствует значению, для которого функция Имеет максимальное значение

Медианой непрерывной случайной величины называется то ее значение, для которого интегральная функция принимает значение равное 0.5 . Это означает, что с равной вероятностью случайная величина может быть больше и меньше ее медианного значения.

2.4.1 Математическое ожидание и его свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений возможных значений случайной величины на вероятности их появления

Математическое ожидание случайной величины – это такое число, вокруг которого колеблются (бывают больше или меньше) значения случайной величины в каждом из опытов. Используют и другие обозначения:

M(x) = Mx = mx = m

Частный случай:

Если , то математическое ожидание такой случайный величины равно его среднему арифметическому

Пример с игральной костью

.

- для непрерывной случайной величины.

Свойства математического ожидания.

1.  .

Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине.

2.

Постоянный множитель можно выносить за скобки .

3.

Математическое ожидание суммы случайной величины и постоянной равно сумме математического ожидания случайной величины и постоянной

4. .

Для любых двух случайных величин математическое ожидание их суммы равно сумме их математических ожиданий

4’.

5. При условии, что - независимые случайные величины

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий.

2.4.2  Дисперсия случайных величин и ее свойства

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

 

Дисперсия характеризует разброс случайной величины вокруг ее сред­него значения и определяется выражениями:

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

Закон распределения случайной величины однозначно определяет все её числовые характеристики. Важнейшими являются математическое ожидание и дисперсия. Можно представить «анкету» случайной величины таким образом:

Ф И О

Закон распределения. Мат. ожидание. Дисперсия.

За меру разброса случайной величины принято брать величину

- среднеквадратичное отклонение (СКО);

СКО = .

Используют также нормированное СКО ; .

Свойства дисперсии

1) Дисперсия постоянной величины равна 0

2) Постоянный множитель выносится за знак дисперсии с возведением в квадрат.

3)  Дисперсия не изменяется, если к случайной величине прибавить или отнять случайное число.

4) Если - независимые случайные величины, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий. Дисперсия разности так же равна сумме дисперсий.

;

;

.

5)  при . Дисперсия произведения независимых случайных величин с нулевым математическим ожиданием равна произведению дисперсий.

Полезное соотношение:

.

Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию квадрата этой величины за вычетом квадрата математического ожидания.

Доказательство:

.

Приложение к лекции

-Проведем доказательство свойства На примере дискретных случайных величин. В этом случае конкретные значения, которые может принимать случайная величина Z=X+Y Определяются выражением zij =( xi + yj), i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, m

Положим, что появление значения yj Это событие А И применим к этому событию формулу Полной вероятности :

. *)

Событие А Может появиться с одним из событий гипотез и отметим, что согласно теореме умножения, которая была использована при выводе формулы *)

P(Hi)·P(A/Hi) = P(A·Hi)

События-гипотезы состоят в появлении значений х1, х2, . . .,хn. Тогда

.

Следовательно, сумма в Фигурных скобках второго слагаемого должна равняться Вероятности Появления yj - . Тогда можно написать:

Доказательства других свойств матожидания

+

Доказательства свойства дисперсии

D[X+Y] =M[(X+Y-mx+y)2]=M[(X-mx+Y-my)2]=+2M[X-mx]·M[Y-my]

< Предыдущая		Следующая >