Лекция 7

План лекции

2.4.3 Моменты случайных величин

2.5 Математическое ожидание и дисперсия основных законов

распределений случайной величины

2.5.1 Закон равномерного распределения

2.5.2 Биноминальный закон распределения

2.4.3 Моменты случайных величин

Моменты случайных величин используются для описания свойств функ­ций распределения вероятностей. В механике моменты используются для описания распределения масс. Есть много общего в описаниях распределения плотности вещества вдоль прямой и плотности распределения вероятностей.

В теории вероятностей используют два типа моментов случайной величины: начальный и центральный.

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют мате­матическое ожидание случайной величины Хk :

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

Отсюда следует, что математическое ожидание есть начальный момент 1-го порядка случайной величины : .

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют ма­тематическое ожидание центрированной случайной величины (X - m)k :

- для дискретной случайной величины;

- для непрерывной случайной величины.

Таким образом, дисперсия DX= μ2 - это центральный момент второго по­рядка случайной величины Х или начальный момент второго порядка центрированной случайной величины . Наиболее употребимы следующие моменты:

αo = 1, α1 = M[X] , α2 = M[X2] , α3 = M[X3] ;

μO = 1, μ1 = 0 , μ2 = D[X] , μ3 = M[(X-M)3].

2.5 Математическое ожидание и дисперсия основных законов распределений случайной величины

Закон распределения случайной непрерывной величины определяется ее природой и следовало бы ожидать существование множества функций, описывающих плотность распределения вероятнос­тей. Однако, несмотря на весьма большое разнообразие физических при­чин, определяющих поведение случайных величин, кривые распреде­лений описываются значительно меньшим набором за­конов. Наиболее часто встречаются такие законы распределения вероятностей :

Равномерное ;

Биноминальное ;

Пуассоновское ;

Показательное;

Нормальное.

2.5.1 Закон равномерного распределения

Пусть случайная величина Х может принимать любые значения в пределах отрезка . Закон распределения называется равномерным, если

Найдём математическое ожидание

.

Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке , равняется середине этого отрезка.

Дисперсия:

Величина называется поправкой Шеппарда.

Пример: При использовании стрелочных измерительных приборов его показания округляют до ближайшего целого деления. Ошибка, которая при этом возникает, имеет равномерное распределение плотности вероятности.

Аналого-цифровые преобразователи (АЦП), которые в настоящее время широко используются, имеют тот же самый закон распределения ошибки.

Если b-a=D это шаг квантования АЦП, то D2/12 - поправка Шеппарда

2.5.2  Биноминальный закон распределения

Дискретная случайная величина Х =(0,1,2,…,n) распределена по биноминальному закону, если

Теорема: Математическое ожидание для биноминального распределения с параметрами и равняется

, Х = (1,2, …, n),

Где - значение в формуле для биноминального закона распределения.

Доказательство:

В то же время биноминальное распределение описывает распределение числа положительных исходов при независимых повторных испытаниях, и тогда доказательство теоремы и ее формулировку можно сделать иначе

Математическое ожидание числа появления события A в независимых повторных испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании.

Доказательство

Число наступлений события A в n независимых испытаниях есть сумма:

Х = Х1 + Х2 + ... + ХN

M[Х] =... M[Х1] + M[Х2] + + M[ХN]

Закон распределения для каждой из ХI соответствует таблице

ХI	1	0
Р	P	Q

; так как .

Теорема: Дисперсия для биноминального распределения с параметрами и равняется

.

или

Дисперсия числа положительных исходов при независимых повторных испытаниях, в котором событие появляется с вероятностью , равно произведению количества испытаний На вероятности их появления и непоявления.

Доказательство:

; ;

,

Так как .

< Предыдущая		Следующая >