§6. Кривые на плоскости. Кривые на плоскости

Кривая на плоскости L:

(1) ,

T – параметр

Функции j, y имеют непрерывные производные.

(2) F(x, y)=0

Тем самым получаем

Точка называется обыкновенной, если

(производные функций J, Y одновременно не обращаются в нуль).

- особая точка, если

Опр. Если кривая задана (2) способом и F(X,Y) является дифференцируемой в некоторой окрестности точки и имеет непрерывные частные производные, тогда если

, то

является обыкновенной точкой кривой L.

Если , то такие точки называются особыми точками кривой L.

Утверждение:

Если точка - обыкновенная точка кривой L, то в некоторой ее окрестности график кривой представим в качестве графика некоторой дифференцируемой функции (либо ).

Док-во:

Т. к. точка является обыкновенной, то по крайней мере одна из производных не обращается в 0.

Пусть .

В силу непрерывности производной, сама функция будет являться дифференцируемой и строго монотонной функцией в некоторой окрестности . Можно указать окрестность точки, в которой функция сохраняет свой знак.

Следовательно, по теореме об обратной функции, существует дифференцируемая монотонная функция .

Подставляя x в функцию Y, получаем:

,

Таким образом, мы получаем Y, как функцию X.

ч. т. д.

< Предыдущая		Следующая >