§6.3. Однопараметрическое семейство кривых

, где - некоторый параметр.

(Жирная заштрихованная прямая – является особой прямой, т. е. прямой состоящей из особых точек.)

Остальные кривые рассматриваемого семейства получаются из кривой , в результате параллельного переноса (или параллельного сдвига) вдоль биссектрисы I и III четвертей.

Точка называется характеристической точкой однопараметрического семейства кривых, если

Отвечающей данному значению a.

Опр. Огибающей однопараметрического семейства кривых называется кривая, которая:

1) в каждой своей точке касается только одной кривой данного семейства

2) в разных своих точках касается различных кривых указанного семейства.

Опр. Дискриминантной кривой называется кривая реализующая собой геометрическое место характеристических точек на плоскости.

Лемма 1

Пусть точка - характеристическая точка однопараметрического семейства , отвечающая a=0.

Пусть функция и функция являются дифференцируемыми функциями в некоторой окрестности точки и их частные производные по переменным x, y непрерывны в самой точке , тогда, если в точке якобиан

(в точке ), то

Дискриминантная кривая, проходящая через точку М0, в некоторой окрестности этой точки может быть задана параметрически, как функция параметра a.

Где функции j и y дифференцируемы в некоторой окрестности .

Теорема 1

Пусть выполнены все условия леммы 1, кроме этого, выполнены следующие условия:

В некоторой окрестности точки являются непрерывными функциями.

В точке выполняются соотношения и .

Тогда дискриминантная кривая, проходя через точку , является в некоторой окрестности этой точки огибающей.

Пример:

Для нахождения характеристических точек запишем условие:

Проверим условия сформулированной теоремы.

Тогда, дискриминантная кривая, согласно сформулированной теореме, представляет собой ось X и является огибающей.

Рассмотрим семейство полукубических парабол и найдем дискриминантную кривую

(убедиться самостоятельно, что прямая, получающаяся в 1), не является огибающей, а в 2) – является огибающей семейства кривых)

Вычислить частные производные, указанные в теореме: в первом случае они обращаются в нуль, а во втором - нет.

< Предыдущая		Следующая >