§2.5. Зависимость функций

Рассмотрим:

(7)

Пусть функции (7) определены и дифференцируемы в некоторой области .

Опр.: Некоторая функция называется зависимой в области От остальных функций из совокупности (7), если ее можно представить в виде

, (8)

Где дифференцируемая функция своих аргументов.

Если никакая из функций системы (7) не может быть выражена через остальные функции, то функции данной системы, выраженные формулой (8), по функции (7) называются независимой.

Примеры:

открытый круг радиуса .

- зависима

Докажем, что - независимы от противного.

Предположим

то

Рассмотрим изменение переменных по оси , т. е. .

(противоречие)

(по прямым)

- независимые, что и требовалось доказать.

, (1)

Где Определены и дифференцируемы в некоторой области .

Теорема 1

Пусть функции (1) дифференцируемы в некоторой окрестности точки (n<m). Пусть якобиан указанных функций по какой либо выборке переменных не равен 0.

Тогда функции (1) являются независимыми в окрестности .

Из m имеющихся переменных для участия в вычисления якобиана выбираются n. Если хотя бы один из указанных якобианов не равен 0, то функции независимы.

Следствие

Если функции (1) являются зависимыми, то все якобианы вида: равны нулю. В знаменателе якобиана рассматриваются всевозможные выборки переменных.

Док-во теоремы 1:

Допустим, что .

Проведем доказательство методом от противного, т. е. допустим, что одна из функций системы (1) является зависимой от остальных функций:

Где функция F дифференцируема в окрестности .

Вычислим частичную производную , по некоторой переменной .

где .

Подчеркнуты представители якобиана.

В идеале надо расписать по всем индексам.

Рассмотрим последнее равенство в точке . При этом множители при подчеркнутых слагаемых превращаются в коэффициенты. Поэтому получаем, что k-я строка якобиана является зависимой от остальных строк. Следовательно, якобиан равен 0, что противоречит начальному предположению.

ч. т. д.

< Предыдущая		Следующая >