§1.12. Ограниченность функции нескольких переменных

Вводится аналогично ограниченности функции одной переменной.

Аналогично вводится понятие точных верхней и нижней граней:

, .

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса)*

Функция U=F(M), непрерывная на замкнутом ограниченном множестве {M}, ограничена на этом множестве.

Доказано самостоятельно:

Пусть U=F(M) Не ограничена сверху на {M}.

Выделим последовательность точек таких, что .

В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса из можно выделить сходящуюся подпоследовательность , предел которой принадлежит множеству {M}.

- бесконечно большая.

В силу непрерывности функции в {M}

сходится к F(M).

Полученное противоречие доказывает теорему.

Ч. т. д.

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса)*

Функция U=F(M), непрерывная на замкнутом ограниченном множестве {M}, достигает на этом множестве своих точных верней и нижней граней.

Доказано самостоятельно:

По первой теореме Вейерштрасса

U=F(M) ограничена на множестве {M} => она имеет точную верхнюю и нижнюю грань.

Пусть F(M)<A, , т. е. не достигает точной верхней грани.

.

Т. к. F(M) непрерывна и F(M)<A, F(M) является непрерывной.

По первой теореме Вейерштрасса

: для .

,

для .

Получено противоречие тому, что А – точная верхняя грань.

ч. т. д.

< Предыдущая		Следующая >