§1.13. Равномерная непрерывность функции

Функция U=F(M) называется равномерно непрерывной на множестве {M}, если

: и таких, что справедливо:

.

зависит только от выбора , но не зависит от выбора точек.

Теорема 3 (теорема Кантора)*

Функция U=F(M), непрерывная в ограниченной замкнутой области {M}, равномерно непрерывна в указанной области.

Доказано самостоятельно:

Доказательство проведём от противного.

: таких, что , выполняется

.

при .

Вместо каждый раз будем брать новое : .

- ограничена (в силу записанного условия)

- ограничена => по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследоватльность.

- сходящиеся подпоследовательности.

,

Но при , следовательно

.

Значит, при (при соответствующем выборе т. ).

Т. е. модуль разности значений можно сделать сколько угодно малым, что противоречит предположению.

ч. т. д.

< Предыдущая		Следующая >