1.3.7. Кардинальные числа. Гипотеза континуума

Теорема. Булеан счетного множества имеет мощность континуума.

Доказательство. Пусть . Построим биекцию Пусть . Отобразим 0,, где -- число из отрезка , представленное в виде бесконечной дроби в двоичной системе счисления, причем такое, что , если , и , если . Очевидно, такое отображение обратимо и, значит, биективно. Таким образом, W (A) и отрезок равномощны, что и требовалось доказать.

Для обозначения мощностей бесконечных множеств используются так называемые Кардинальные числа. Мощность счетного множества обозначается . Мощность континуума -- .

Поскольку для конечных множеств и булеан счетного множества имеет мощность континуума, то и для бесконечных множеств имеем: . Можно показать, что вообще (теорема Кантора) булеан всякого множества имеет мощность большую чем (и всякое его подмножество). Таким образом,

, ... , , …

Подобно тому, как не существует наибольшего натурального числа, не существует множества, имеющего наибольшую мощность.

Континуум – гипотеза утверждает, что всякое бесконечное подмножество R имеет мощность или , т. е. нет множеств, мощности которых выражаются промежуточными «дробными» кардинальными числами. В более общей форме, не существует бесконечных множеств, имеющих другие мощности, кроме .

< Предыдущая		Следующая >