16. Натуральные уравнения кривой

Мы видели, что если кривизна и кручение кривой в постоянны, то можно восстановить кривую (винтовую линию ) с данными С точностью до движения в пространстве. Оказывается, этот факт справедлив и в общей ситуации, когда кривизна и кручение не являются постоянными.

Теорема. Пусть – любые регулярные функции, причем . Тогда существует и притом единственная, с точностью до движения в пространстве, кривая, для которой является кривизной, а – кручением в точке, соответствующей дуге .

1). Докажем сначала существование кривой. Рассмотрим систему уравнений, которой должны удовлетворять в силу формул Френе векторы касательной , главной нормали , и бинормали искомой кривой.

.

Пусть – начальные условия, причем векторы образуют ортонормированный правый репер в точке кривой, отвечающей значению . Поскольку функции регулярны, то из общей теории ODE следует, что существует и единственно решение данной системы дифференциальных уравнений первого порядка с данными начальными условиями. Покажем, что решение образует ортонормированный правый репер при любом . Для этого вычислим . Используя уравнения системы Френе, получим

Анализируя эту систему уравнений видим, что она удовлетворяется значениями С другой стороны, она удовлетворяется значениями . Оба решения совпадают при, следовательно, по теореме единственности, решения совпадают тождественно. Кроме того, при всех образуют правую тройку, так как детерминант, составленный из них, является непрерывной функцией и может принимать значения или –1. Но в точке он равен , следовательно, и при всех он должен быть равен +1.

После того, как восстановлен сопровождающий репер Френе искомой кривой, нетрудно восстановить и саму кривую : .

Проверим, что эта кривая имеет в качестве натуральных уравнений функции . Во-первых, ясно, что является дугой на , т. к. Кривизна найденной линии равна Кручение равно

2). Докажем единственность (с точностью до движения в ) найденной кривой. Пусть кривые и имеют одинаковые натуральные уравнения и их сопровождающие реперы Френе кривых при таковы : и . Существует матрица , такая, что Кроме того, нетрудно проверить, что если – решение системы уравнений Френе, то есть другое решение той же системы. В силу единственности решения, при всех . Интегрируя первое из этих уравнений, получим , где . Таким образом, кривая получается из движением в ,ч. т.д.

Литература. А. В. Погорелов. гл. 3, параграф 4.

< Предыдущая		Следующая >