11. Группы Ли и алгебры Ли

Группа Ли – это многообразие, которое одновременно является и группой с групповыми операциями класса , т. е. отображения являются гладкими.

Подгруппой Ли группы называется подгруппа , которая является также и подмногообразием . Гомоморфизмом групп Ли называется групповой гомоморфизм, который одновременно является гладким отображением данных многообразий.

Примеры.1) Общая линейная группа в размерности , обозначаемая , есть множество обратимых действительных матриц, рассматриваемое как -мерное векторное пространство с обычным умножением матриц . Поскольку каждая координата матрицы есть полилинейная функция от координат сомножителей, то отображение принадлежит классу . Аналогично проверяется, что отображение задается гладкими координатными функциями.

2) Всякое векторное пространство над является группой Ли, если в качестве операции умножения рассматривать сложение векторов.

Подгруппы Ли в называются Матричными группами Ли. Согласно одной теореме Адо и Ивасавы, практически все, что справедливо для матричной группы Ли, имеет аналог для общей группы Ли. Вот примеры матричных подгрупп.

3) – множество диагональных матриц с положительными элементами на главной диагонали.

4) – множество верхнетреугольных матриц со всеми диагональными элементами, равными 1.

5) (Только) Пусть . Тогда есть матричная группа, диффеоморфная .

6) Группа – специальная линейная группа

7)Ортогональная группа

8) Специальная ортогональная группа .

Можно проверить, что указанные множества являются подгруппами и подмногообразиями в . Можно доказать, что всякая замкнутая (топологически) подгруппа произвольной группы Ли является вложенным подмногообразием в и, значит, подгруппой Ли.

На всякой группе Ли определены следующие гладкие отображения группы в себя: левый сдвиг на элемент : и Правый сдвиг: . Всякий левый (правый) сдвиг является диффеоморфизмом группы Ли, действительно, обратным отображением для является , который представляет собой гладкое отображение.

Пример. В группе левый сдвиг действует умножением слева на матрицу .

Для всякой группы Ли через обозначим Связную компоненту , содержащую Единицу Группы .

Пример. Группа является компонентой , содержащей , .

Предложение. Для всякой группы Ли , множество есть открытая нормальная подгруппа в . Если – произвольная открытая окрестность в , то представляет собой объединение “степеней” , определенных по индукции : , для .

Доказательство. Поскольку есть многообразие, то любая его компонента связности есть открытое и линейно связное топологическое подмножество. Если есть два пути, начинающиеся в единице : , то путь есть путь из точку . Аналогично, есть путь из в точку Поэтому замкнуто относительно умножения и обращения и, значит, является подгруппой. Это нормальная подгруппа, т. к. для отображение (сопряжение с помощью ) есть диффеоморфизм, который оставляет на месте , а значит, и компоненту связности единицы. Наконец, пусть некоторая окрестность . Для , пусть будет путь с и . Открытые множества покрывают . Поэтому компактность влечет, что существует конечное разбиение такое, что для всех Но тогда каждый из элементов лежит в и

Следствием предложения является то, что для связной группы Ли , всякий гомоморфизм групп Ли определяется его поведением в любой окрестности единицы .

Присоединенное представление (adjoint representation). Условились обозначать касательное пространство в единице группы Ли соответствующей строчной буквой. Например, векторное пространство обозначают , векторное пространство обозначается как , и т. д. Приведем примеры вычисления касательных пространств.

1) . Пусть – кривая в , причем . Продифференцируем равенство (справедливое при всех): . Получим, (подставляя вместо значение 0): . Но и есть касательный вектор к кривой в , следовательно, .

2). Пусть – кривая в , причем . Поскольку при всяком , дифференцируя это соотношение и подставляя , получим: . Следовательно, Поэтому, .

Для произвольной группы Ли Присоединенным представлением называется отображение , заданное следующим образом .

Например, если , то , для и всех . Конечно, эта формула верна в любой матричной группе.

Линейным представлением группы Ли называется групповой гомоморфизм (пространство биективных линейных отображений ).

ПредложениЕ. Присоединенное представление есть линейное представление .

Доказательство. Для всякого , пусть Тогда есть диффеоморфизм, который удовлетворяет В частности, есть изоморфизм и значит, принадлежит .Поскольку , то цепное правило для дифференциалов дает : Следовательно, и есть гомоморфизм.

Для всякого вектора определим векторное поле , заданное на всей группе Ли по правилу Заметим, что согласно цепному правилу для дифференциалов и определению , мы имеем . Таким образом, векторное поле инвариантно при левом сдвиге на любой элемент из .

Левоинвариантным векторным полем на группе Ли называется векторное поле , для которого справедливо .

Например, для группы левоинвариантное поле имеет вид Можно показать, что всякое левоинвариантное поле на любой группе Ли имеет вид , где , и, следовательно, является гладким.

Предложение. Пусть – левоинвариантное векторное поле на группе Ли . Тогда соответсвующая ему однопараметрическая группа преобразований определена для всех и всех и имеет вид .

Доказательство. Будем считать, что – матричная группа и пусть, сначала . Обозначим через траекторию поля , начинающуюся в единице, т. е. . Имеем . Известно, что решением данного ODE является матричный ряд : . Ряд сходится равномерно на всяком компакте в к гладкой матричнозначной функции от . Теперь рассмотрим произвольную точку и проверим, что интегральная траектория поля , проходящая через , будет иметь вид . Действительно, , ч. т.д.

Пример. Пусть , состоит из матриц вида , Имеем и т. д. Поэтому

Поэтому однопараметрическая группа преобразований на группе Ли , которую порождает левоинвариантное векторное поле , где , имеет вид: .

Предложение. Всякий гомоморфизм групп Ли имеет вид , где .

Доказательство. Пусть , и пусть ассоциированное с ним левоинвариантное векторное поле. Поскольку и , то . Следовательно, кривая является интегральной кривой поля с началом в . В силу единственности решения ODE она должна совпадать с кривой .

Гомоморфизмы аддитивной группы в группу Ли называют также Однопараметрическими подгруппами.

Для всякой группы Ли Экспоненциальным отображением называется отображение: , определенное таким образом : , где – интегральная кривая векторного поля с начальным условием .

Дифференциал экспоненциального отображения в есть тождественное преобразование:.

Алгеброй Ли называется векторное пространство , снабженное билинейным отображением , которое называется скобкой и обозначаемое , удовлетворяющее следующим основным свойствам: 1) для всех 2) для любых выполнено тождество Якоби :

Пример. 1) На многообразии множество всех гладких векторных полей образует алгебру Ли.

2) Множество всех линейных преобразований пространства является алгеброй Ли со скобкой:

Каждой группе Ли соответствует ее Касательная алгебра , которая представляет собой касательное пространство со следующей скобкой. В алгебре всех векторных полей на выделим подалгебру левоинвариантных полей . Перенеся операцию из алгебры всех векторных полей в пространство с помощью изоморфизма мы получим структуру касательной алгебры . Можно показать, что .

Пример. Если , то можно показать, что индуцированная скобочная операция на есть обычный матричный коммутатор:

Одним из важных фактов теории групп Ли является соответствие между группами Ли и алгебрами Ли. Имеет место следующая теорема.

Теорема. 1).Для всякой конечномерной алгебры Ли существует группа Ли , чья касательная алгебра изоморфна .

2) для всякой подгруппы Ли группы Ли , подпространство есть подалгебра касательной алгебрыГруппы Ли .

3)всякая подалгебра Есть для некоторой связной подгруппы Ли группы Ли .

Литература.1. Бишоп Р., Криттенден Р. Гл. 2,

2. Зуланке Р. Винтген П. Гл. 2.

3. R. Bryant. An introduction to Lie Groups and Symplectic geometry. In

“Geometry and Quantum field theory”.vol 1., 1995

< Предыдущая		Следующая >