09. Однопараметрические группы преобразований

Пусть на многообразии задано дифференцируемое векторное поле . С каждым таким полем связана система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

. (1)

По теореме о существовании решений для существуют такое и некоторая окрестность точки , что система (1) имеет единственное решение , определенное при и удовлетворяющее условию , где . Обозначим через

(2)

Координаты точки, лежащей на интегральной траектории поля , выходящей из начальной точки . Формула (2) задает локальный диффеоморфизм окрестности на (сдвиг на вдоль интегральных траекторий). Множество локальных диффеоморфизмов обладает следующими свойствами для малых 1) 2) . Говорят, что сдвиги образуют Локальную однопараметрическую группу преобразований вдоль траекторий векторного поля . Можно показать, что на компактном многообразии любое гладкое векторное поле порождает однопараметрическую группу.

Пример. Рассмотрим в поле . Тогда соответствующая ему однопараметрическая группа преобразований имеет вид: . Интегральными траекториями поля являются окружности и преобразование представляет собой поворот области на угол вокруг начала координат.

< Предыдущая		Следующая >