08. Внешние дифференциальные формы

Пусть – координаты в окрестности точки . Определим дифференциальные формы (), которые составляют базис сопряженного пространства линейных форм : Внешней формой степени называется ковариантное кососимметрическое тензорное поле .

Следовательно, компонентами кососимметрического тензорного поля являются величины , а образуют базис пространства кососимметрических форм степени : .

Пример. Формы степени 1 образуют пространство линейных дифференциальных форм или форм Пфаффа вида . Дифференциал гладкой функции , заданной на многообразии можно рассматривать как 1-форму : .

Внешним дифференциалом -формы называется следующая форма степени :

.

Пример. Внешним дифференциалом 1-формы

будет 2-форма .

Как известно, операция внешнего дифференцирования линейна и обладает свойством: для произвольной внешней формы .

Подробно остановимся на операции Внутреннего произведения произвольного векторного поля и некоторой -формы . Определим внутреннее произведение как форму степени , билинейную по обоим аргументам, так что достаточно знать внутреннее произведение на базисных элементах. Положим

Например, . Так что, если дано векторное поле , и некоторая 2-форма , то

Отметим следующее свойство внутреннего произведения : для произвольной -формы и формы : .

Литература. 1. Ф. Уорнер Основы теории гладких многообразий и групп Ли,

гл.1, с.49.гл2, с.84.

2. С. Стернберг. Лекции по дифференциальной геометрии, гл.2,

параграф 8

3. П. Олвер. Приложение групп Ли к дифференциальным

уравнениям, гл.1, с.63.

< Предыдущая		Следующая >