03. Гладкие отображения многообразий

Пусть в окрестности точки задана карта и гладкое отображение , которое можно представить в виде , где некоторая карта на многообразии в окрестности точки .

Для произвольного вектора определим Вектор , увлеченный (push forward) Отображением , по формуле .

Лемма. Отображение определено корректно, т. е. – вектор.

Доказательство. Проверим тензорный закон преобразования для величин . Если – некоторая другая карта в окрестности точки , то обозначая с чертой наверху координаты увлеченного вектора в этой карте, имеем , ч. т.д.

Увлечение векторов можно описать следующим образом. Возьмем кривую, касающуюся вектора в точке , т. е. . Вектор, касательный к образу этой кривой и есть , т. е. .

Предложение. Если – гладкие многообразия, – гладкие отображения. Тогда .

Доказательство. Пусть – карта на , – карта на , – карта на и отображения заданы следующим образом , , Тогда Ч. т.д.

По аналогии с вектором можно определить увлечение отображением Произвольного контравариантного тензора По формуле .

Операция увлечения векторов определяет линейное отображение

Гладкое отображение называется Погружением (immersion), если отображение для произвольной точки – есть мономорфизм. Иными словами, отображение индуцирует изоморфизм пространства на некоторое подпространство . Если отображение в локальных координатах задано , то отображение является погружением тогда и только тогда, когда ранг матрицы Якоби равен .

Примеры. 1) Полукубическая парабола на плоскости. Пусть . Отображение задано формулами . Тогда . В точке ранг дифференциала отображения равен нулю. Следовательно, это отображение не является погружением.

2). Отображение , заданное формулами , является погружением, хотя и не является взаимно однозначным (точки отображаются в одну точку плоскости ).

Погружение называется Вложением (embedding), если оно является гомеоморфизмом на свой образ. Например, график арктангенса является вложением действительной оси в , эллипс является вложением окружности в .

Вложение называется Собственным, если для любого компактного его полный прообраз компактен в . Американский математик Х. Уитни доказал теорему о том, что любое многообразие размерности допускает вложение в евклидово пространство .

Пример. Рассмотрим отображение , которое представляет собой график функции , т. е. множество . Пусть компактное множество на плоскости задано следующим образом . Тогда легко видеть, что , где . Поскольку это множество не является компактным в , то вложение не является собственным.

Для гладкого отображения и произвольного ковариантного тензора В точке определим Операцию антиувлечения (pullback), которая сносит данный тензор на . Если отображение задано в виде , то . Можно проверить, что эта операция задает некоторый тензор типа на многообразии .

Пример. Дифференциал произвольной функции заданной на имеет вид и может быть отождествлен с ковектором . При действии на него операцией антиувлечения он сносится на прообраз отображения в следующий ковектор , следовательно .

Лемма. Для гладких отображений имеет место равенство .

< Предыдущая		Следующая >