02. Элементы тензорной алгебры

Пусть на многообразии в окрестности точки заданы две карты и . Условимся обозначать геометрические объекты в карте буквами без черты сверху, а те же объекты в карте такими же буквами, но с чертой сверху. Например, касательный вектор в карте пусть имеет вид , а в карте – .

Говорят, что на многообразии в точке задан Тензор раз контравариантный и раз Ковариантный (тензор типа ), если в каждой карте, содержащей точку , задана система чисел, занумерованных индексами вверху в определенном порядке и индексами внизу, , где ( т. е. задано чисел в каждой системе координат), преобразующихся при переходе от карты к карте по следующему закону (Тензорный закон преобразования)

.

Число называется Рангом или валентностью тензора. Тензоры нулевой валентности (без индексов) по определению являются скалярами.

Примеры. 1) Вектор –это контравариантный тензор валентности 1 (т. е. тензор типа . Действительно, закон преобразования вектора при переходе от карты к карте имеет вид .

2) Пусть – линейная функция на касательном пространстве в точке . Если – координаты вектора в карте , то , где – коэффициенты линейной функции. Поскольку функция инвариантна относительно выбора карт, то . Отсюда Для любого вектора . Поэтому , т. е. – ковариантный тензор валентности 1 (тензор типа (0,1)). Употребляют также термин Ковектор.

3) Пусть – гладкая функция на многообразии . Она определяет ковариантное тензорное поле (ковектор). Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции имеем .

4) Рассмотрим линейный оператор на касательном пространстве : , или . Выясним как выглядит оператор в карте . В силу его инвариантности имеем . Заменяя выражения векторов, получим . Поскольку обратной матрицей к является матрица , то . Следовательно, .

Сложение тензоров одного типа . В каждой карте тензоры складываются покомпонентно: . Умножение тензора на скаляр сводится к умножению каждой компоненты на него.

Умножение тензоров. Пусть, например, имеется два тензора и . Тогда их тензорным произведением называется тензор с компонентами . Перемножать можно тензоры произвольных типов, но тензорное произведение не коммутативно, т. е. . Тензор отличается от тензора только тем, что его компоненты перенумерованы в другом порядке.

Подстановка индексов тензора. Пусть имеется тензор типа или , например и какая-то перестановка . Тогда определен новый тензор по формуле . Заметим, что подстановка действует на места индексов, например, .

Свертка тензора типа , где . Свернем, например, тензор по первому верхнему индексу и по второму нижнему индексу. При этом получается тензор типа (1,1) . Эта процедура применима для тензора любого типа, лишь бы можно было выделить один индекс вверху и один индекс внизу. При этом результат существенно зависит от того, по каким именно индексам проводится свертка тензора.

С помощью свертки из тензоров типа можно получить инварианты, сворачивая последовательно тензор в скалярное поле. Например, свертка тензора (представляющего некоторый линейный оператор В ) дает его след .

В пространстве тензоров валентности или имеются линейные подпространства симметрических тензоров и кососимметрических тензоров.

Тензор называется Симметрическим, если любая операция подстановки всех его индексов не меняет его координат. Если же координаты тензора меняют знак при нечетной подстановке и не меняют знак при четной подстановке, то он называется Кососимметрическим.

Операция симметрирования позволяет произвольный тензор превратить в симметрический. Положим , где – группа перестановок на символах. В результате этой операции получается тензор, симметричный по всем индексам. Например, или .

Операция альтернирования позволяет произвольный тензор превратить в кососимметричный. Положим , , если перестановка четная и , если перестановка нечетная. Например, , или .

Отметим, что размерность пространства тензоров типа равна , где . Размерность пространства симметрических тензоров типа равна , а размерность пространства кососимметрических тензоров того же типа равна . Отсюда в частности следует, что всякий тензор типа или представим в виде суммы симметрического и антисимметрического тензора. Впрочем, это утверждение легко усмотреть и непосредственно из равенства .

Литература. 1. Трофимов В. В., гл.1, параграф 10.

2. О. А Борисенко. гл.3, пункты 3.1,3.2.

3. А. И.Кострикин, Ю. И. Манин, Линейная алгебра и

геометрия, часть 4, параграфы 3-6.

< Предыдущая		Следующая >