72. Линейные преобразования

Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент АÎ L.

Определение: Преобразование А называется Линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A(+) = A+A

A(a) = aA

Определение: Линейное преобразование называется Тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е =

Пример. Является ли А линейным преобразованием. А=+; ¹ 0.

Запишем преобразование А для какого - либо элемента . А = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А(+) = ++; A() + A() = +++, что верно только при = 0, т. е. данное преобразование А нелинейное.

Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор Является Линейной комбинацией векторов .

Определение: Если только при a = b = … = l = 0, то векторы Называются Линейно независимыми.

Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов, но любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется N-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется Базисом линейного пространства L.

Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

< Предыдущая		Следующая >