09. Ранг матрицы

Как было сказано Выше, минором матрицы порядка s называется определитель матрицы, образованной из элементов исходной матрицы, находящихся на пересечении каких - либо выбранных S строк и S столбцов.

Определение. В матрице порядка m´n минор порядка r называется Базисным, если он не равен нулю, а все миноры порядка R+1 и выше равны нулю, или не существуют вовсе, т. е. R совпадает с меньшим из чисел m или n.

Столбцы и строки матрицы, на которых стоит базисный минор, также называются Базисными.

В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Определение. Порядок базисного минора матрицы называется Рангом Матрицы и обозначается Rg А.

Очень важным свойством Элементарных преобразований матриц является то, что они не изменяют ранг матрицы.

Определение. Матрицы, полученные в результате элементарного преобразования, называются Эквивалентными.

Надо отметить, что Равные матрицы и Эвивалентные матрицы - понятия совершенно различные.

Теорема. Наибольшее число линейно независимых столбцов в матрице равно числу линейно независимых строк.

Т. к. элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы, то можно существенно упростить процесс нахождения ранга матрицы.

Пример. Определить ранг матрицы.

~ ~, RgA = 2.

Пример: Определить ранг матрицы.

~ ~ ~, Rg = 2.

Пример. Определить ранг матрицы.

~, Þ Rg = 2.

Если с помощью элементарных преобразований не удается найти матрицу, эквивалентную исходной, но меньшего размера, то нахождение ранга матрицы следует начинать с вычисления миноров наивысшего возможного порядка. В вышеприведенном примере – это миноры порядка 3. Если хотя бы один из них не равен нулю, то ранг матрицы равен порядку этого минора.

< Предыдущая		Следующая >