12. Дифференциал сложной функции. Инвариантная форма записи дифференциала

Пусть Y = F(X), X = G(T), т. е у - сложная функция.

Тогда Dy = F¢(X)G¢(T)Dt = F¢(X)Dx.

Видно, что форма записи дифференциала dy не зависит от того, будет ли х независимой переменной или функцией какой - то другой переменной, в связи с чем эта форма записи называется Инвариантной формой записи дифференциала.

Однако, если х - независимая переменная, то

Dx = Dx, но

Если х зависит от t, то Dх ¹ dx.

Таким образом форма записи dy = f¢(x)Dx не является инвариантной.

Пример. Найти производную функции.